Как известно, количество возможных состояний кубика Рубика равно
43 252 003 274 489 856 000 (43 квинтиллиона 252 квадриллиона 3 триллиона 274 миллиарда 485 миллионов 856 тысяч). Откуда же берётся такая цифра? А вот откуда:
(количество расстановок реберных кубиков) х
х(количество расстановок угловых кубиков) х
х (количество комбинаций поворотов реберных кубиков) х
х (количество комбинаций поворотов угловых кубиков).

Есть ещё центральные кубики, но они всегда находятся на своих местах, а их ориентацией (для кубика с монотонной раскраской каждой грани) можно пренебречь.

Реберных кубиков в кубике Рубика 12. Значит, первый кубик можно расставить по 12 местам, второй кубик – на 11 мет, 3 кубик - на 10 мест четвертый - на 9 и так далее до последнего. То есть, количество ВСЕХ расстановок реберных кубиков равно
12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 479001600.
Записывается это как 12! (12-факториал).

Факториал числа n (лат. factorialis - действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториал) - произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Аналогичным образом посчитаем количество ВСЕХ расстановок угловых кубиков. Их 8, а значит,
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320.

Теперь посчитаем количество ВСЕХ комбинаций поворотов реберных кубиков. Каждый из 12 реберных кубиков может иметь только 2 ориентации - 0 и 180 градусов, поэтому, 2 в 12 степени = 4096.

Точно так же посчитаем количество всех ориентаций угловых кубиков: 3 в 8 степени = 6561.

Казалось бы, можно перемножить полученные 4 числа, и всё готово. Но не всё так просто. Пока что цифра получится горааааздо больше. Отсечём лишнее.

Если кубики выведены из правильного положения только допустимыми вращениями (а не физической разборкой и новой сборкой всего устройства или перекраской граней), то не может возникнуть положение, при котором:

1. все средние кубики стоят на своих местах и только один из них повернут неправильно;
2. все средние кубики и стоят, и повернуты правильно, а все угловые кубики, кроме двух, стоят (в любых положениях) на своих местах;
3. все средние кубики и стоят, и повернуты правильно, а все угловые кубики стоят на своих местах и только один из них повернут неправильно.

Кому интересно, откуда выведены такие свойства, рекомендую к прочтению статью «Математика волшебного кубика» В. Дубровского в журнале «Квант» №8 за 1982 год, и статью «Венгерский шарнирный кубик» в №12 за 1980 год в том же журнале, авторы - В. Залгаллер и С. Залгаллер. . Если Вы ни разу не математик, читать не советую, ибо вынесете себе мозг. А по сему, просто поверьте на слово.

В соответствии с первым свойством не может быть развёрнут только один реберный кубик, значит, его ориентацию мы тоже не будем учитывать. Поэтому 2 в 12 степени поделим на 2, что равно 2 в 11 степени. Получим 2048.

Исходя из третьего свойства, по которому не может быть повернут неправильно только один угловой кубик (а значит, можно не учитывать его ориентацию), подкорректируем подсчёт всех ориентаций угловых кубиков до минимально необходимого. То есть, поделим на 3, или запишем 3 в 7 степени, что равнозначно. Получится 2187.

Ну и последняя корректировка основана на втором свойстве. Она отсекает невозможные перестановки. То есть, если мы уже расставили на свои места (в любой ориентации) 6 из 8 угловых кубиков, то последние 2 обязательно встанут каждый на своё место. Помните, как мы считали расстановку углов? (От 8 возможных мест для первого кубика до одного места для последнего кубика.) Так вот, множители для последних кубиков можно теперь не учитывать. Поделим 8! на 2, получим 20160.

Итак, теперь Вы понимаете, что и откуда взялось в этой формуле, а значит можно смело перемножать полученные числа:
12! * 8!/2 * 2 11 * 3 7 = 12! * 8! * 2 10 * 3 7 .
Можно ещё разложить 12! и 8! на простые числа, тогда получим
2 27 * 3 14 * 5 3 * 7 2 * 11 = 43252003274489856000.
Или просто перемножить заранее вычисленные 4 числа:
479001600 * 20160 * 2048 * 2187 = 43252003274489856000.

Давайте теперь посчитаем, сколько будет возможных состояний у кубика Рубика, если учесть повороты центральных кубиков (серединок). Как известно, их 6 штук (в кубике размерностью 3х3х3) и каждый из них может быть повернут на 0, 90, 180 и 270(или минус 90) градусов, то есть иметь 4 возможных положения. Следовательно, количество возможных комбинаций центров равно 4 в 6 степени. Но в кубике невозможно состояние, когда при полностью собранном кубе только один центральный кубик повёрнут на 90 градусов (в любую сторону), поэтому, у последнего центрального кубика из шести учтём только два положения – 0 и 180 градусов. Получим
(4 6)/2=(2 2) 6 /2=2 12 /2=2 11 = 2048 возможных комбинаций.

Умножив теперь это число на известное нам количество комбинаций углов и ребер, получим:
2048 * 43252003274489856000 = 88580102706155225088000.

Итак, количество комбинаций кубика Рубика размерностью 3х3х3 с учетом ориентации центральных кубиков равно
2 11 * 2 27 * 3 14 * 5 3 * 7 2 * 11 = 2 38 * 3 14 * 5 3 * 7 2 * 11=
=88 580 102 706 155 225 088 000 (88 секстиллионов 580 квинтиллионов 102 квадриллиона 706 триллионов 155 миллиардов 255 миллионов 88 тысяч).

В последнее время появилось много кубиков с рисунками (или рисунком) на гранях. Если Вы приобрели себе один из них, то у Вас обязательно возникнет ситуация, когда центральные кубики будут неправильно сориентированы. Для того, чтобы собрать такой кубик, Вам необходимо знать, (на своих местах, естественно).

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского

«Харьковский авиационный институт»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Основы системного анализа»

на тему: СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СОСТОЯНИЙ КУБИКА РУБИКА

г. Харьков - 2014 год

Введение

1.1 Актуальность работы

1.2 Дерево проблем

1.3 Дерево целей

3.4.1 Алгоритм Тистлетуэйта

3.4.2 Алгоритм Коцембы

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Кубик Рубика - одна из популярнейших в мире головоломок. Её создал в 1975 году Эрнё Рубик (Erne Rubik, Rubik Ernх) -- венгерский изобретатель, скульптор и профессор архитектуры.

В 1971 году Эрнё был назначен преподавателем Академии прикладных искусств. Среди прочих дисциплин он преподавал трехмерное моделирование. По одной из версий, при помощи данного учебного пособия Рубик пытался объяснить студентам основы математической теории групп. Задача изобретателя была такова: заставить отдельные разноцветные кубики свободно вращаться на своих местах, не нарушая конструктивного единства всего приспособления.

Самому изобретателю потребовался месяц, чтобы собрать кубик, после создания первой модели.

В течение последующих 40 лет ведущие математики и программисты пытались найти кратчайший алгоритм сборка кубика Рубика. На данный момент кратчайший алгоритм не найден.

В первой главе данной работы приведен обзор литературы, сделаны выводы по результатам обзора информационных источников. Также представлены дерево проблем и дерево целей, определена цель исследования. Определен объект исследования, приведено доказательство того, что объект исследования является объектом с точки зрения системного анализа. Определен предмет исследования.

Во второй главе содержится анализ предмета исследования. Приведены структурный, функциональный, информационный и классификационный виды анализа исследуемого объекта.

В третьей главе обоснован выбор модельного представления объекта исследования. Приведены входные и выходные величины, а также основные уравнения, описывающие объект исследования.

В заключении представлены выводы, предложения и рекомендации, показана практическая значимость работы.

дефрагментация кубик рубик математический

1. Системный анализ групп преобразования состояний кубика Рубика

1.1 Актуальность работы

Кубик Рубика - это пластмассовый куб, разбитый на 27 конгруэнтных кубиков. Внутренний кубик удален, а 26 наружных кубиков соединены так, что любая грань из 9 кубиков, прилегающих к одной грани куба, может быть повернута в любом направлении на 900. После поворота на 900 вся система сохраняет прежнюю свободу вращений: снова любую грань в любом направлении можно повернуть в ее плоскости на 900.

Первоначально каждая из граней большого куба окрашена в свой цвет (красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, белый). После ряда случайно выбранных вращений окраска граней куба становится пестрой: на грани присутствуют клетки разных цветов. Решение головоломки состоит в том, чтобы с помощью вращений добиться изначальной расстановки кубиков, т.е. такой расстановки, при которой каждая грань куба снова будет одного цвета.

«Джон Конвей, один из крупнейших специалистов по теории групп в мире, либо один из его коллег в Кембридже определил кратчайший путь из любого данного состояния назад к начальному состоянию как «Алгоритм Бога» .

Число комбинаций кубиков, которые можно получить вращением граней (подсчитано, что их N = 43 252 003 274 489 856 000, т.е. более 43 квинтиллионов) делает ее недоступной для перебора даже на ЭВМ. Можно заметить, что не любая комбинация может быть получена вращением граней куба: если разрешить разборку куба на составляющие его 26 кубиков, то можно составить 12N = 529024039393878272000 различных комбинаций.

1.2 Дерево проблем

Основную проблему данной работы, можно разбить на подпроблемы и представить в виде дерева проблем (см. рис. 1.1)

1. Сложность последовательной обработки всех возможных различных состояний кубика Рубика

1.1. Сложность построения графа состояний кубика Рубика

1.1.1. Ограниченные возможности графических редакторов и средств для визуализации графа состояний кубика Рубика

1.2. Ограниченность ресурсов вычислительной техники

1.2.1. Ограниченностьвместимости цифровых носителей

Рисунок 1.1 -- Дерево проблем

1.3 Дерево целей

Основную цель данной работы, можно разбить на подцели и представить в виде дерева целей (см. рис. 1.2).

1. Исследовать возможность создания алгоритмов и сформулировать рекомендации, позволяющие оптимизировать количество преобразований между начальным и целевым состояниями кубика Рубика

1.1. Оптимизация на группе преобразований состояний кубика Рубика

1.1.1. Применение методов теории групп

1.2. Поиск алгоритма для нахождения оптимального решения

1.2.1. Изучение и анализ алгоритмов преобразования состояний кубика Рубика

Рисунок 1.2 -- Дерево целей

Цель работы - исследовать возможность создания алгоритмов и сформулировать рекомендации, позволяющие оптимизировать количество преобразований между начальным и целевым состояниями кубика Рубика.

Объект исследования - Состояния кубика Рубика.

Предмет исследования - Группы преобразований состояний кубика Рубика

Методы исследования:

· Обработка существующей информации;

· Анализ существующих алгоритмов.

Основные задачи исследования:

· Проведение морфологического, функционального, информационного и классификационного анализа объекта исследования;

· Изучение алгоритмов преобразования состояний кубика Рубика;

· Определение основных факторов, влияющих на оптимизацию групп преобразований кубика Рубика.

2. Описание системы трехмерного визуализатора процесса дефрагментации (кубика рубика) с точки зрения системного анализа

2.1 Структурное описание системы

Рассмотрим структуру системы кубика Рубика (Рисунок 2.1) и её свойства с позиций системного анализа.

Рисунок 2.1 - Структура кубика Рубика

Свойства системы:

1) Эмерджентность

Центральный механизм - предназначен для соединения 26 конгруэнтных кубиков управления вращениями граней

Кубики - определяют положение цветовых индикаторов на каждой грани

Каждая из систем выполняет свою функцию, но их объединение способствует визуализации пошагового процесса дефрагментации без нарушения целостности всего устройства.

2) Целостность

При удалении из системы всех центральных кубиков реберные и угловые кубики перестают управляться центральным механизмом, и система перестает существовать

3) Аддитивность

Переход системы в нулевое состояние осуществляется последовательными поворотами граней куба.

4) Синергизм

Вращение одной грани вызывает одновременное изменение положения и ориентации в пространстве девяти кубиков, принадлежащих вращающейся грани.

5) Прогрессирующая систематизация

Процесс сборки кубика Рубика - это стремление к целостному цветовому покрытию каждой грани

6) Изоморфизм

Все центральные, реберные и угловые кубики сходны между собой по строению (внутри группы).

Тип элементного состава - смешанный тип. Однотипными элементами являются кубики и в то же время они отличаются от центрального механизма.

Тип элементов - вещественный.

Тип связей между элементами - информационный.

Тип структуры - иерархическая.

Условно кубик Рубика можно представить кибернетической моделью, где {x1, …, xn} - вектор входов объекта, а {y} - выход.

2.2 Функциональное описание системы

Функциональное описание системы - это описание как основной функции, выполняемой системой, так и функций подсистем и элементов данной системы с указанием параметров системы, подсистем и элементов. Функциональное описание также содержит структурноеописание системы, описание системоразрушающих и системообразующих факторов.

Структурное описание системы:

1. Кубик Рубика

1.1. Центральный механизм

1.1.1. Толстое плечо креста

1.1.2. Тонкая ось креста

1.1.2.1. Шайба

1.1.2.2. Пружина

1.1.2.3. Гайка

1.2. Кубики

1.2.1. Центральные

1.2.1.1. Цветные накладки

1.2.2. Реберные

1.2.2.1. Цветные накладки

1.2.3. Угловые

1.2.3.1. Цветные накладки

Функции системы и ее подсистем представлены в таблице 2.1

Таблица 2.1 - Функциональное описание системы

Функции системы первого уровня
	Кубик Рубика	Преобразование групп состояний цветовой схемы кубика Рубика
Функции подсистем второго уровня
	Центральный механизм	Крепление центральных кубиков Вращение граней кубика Рубика
		Визуализация вращений граней
Функции подсистем третьего уровня
	Толстое плечо креста	Обеспечение фиксации центральных кубиков
	Тонкая ось креста	Обеспечение подвижного крепления центральных кубиков при помощи пружины, шайбы и гайки
	Центральные кубики	Определение цвета соответствующей грани Фиксация угловых и реберных кубиков
	Реберные кубики
	Угловые кубики	Определение состояния кубика Рубика Ориентация цветовых накладок относительно «собранного» состояния
Функции подсистем четвертого уровня
		Обеспечение защиты пластмассовой части центрального кубика от продавливания металлической пружиной
		Обеспечение упругого соединения вращаемой грани
		Обеспечение фиксации пружины
	Цветные накладки	Визуализация состояний кубика Рубика

Параметры системы и ее подсистем представлены в таблице 2.2

Таблица 2.2 - Параметры подсистем и элементов

		Параметры
Параметры системы первого уровня
	Кубик Рубика	Качество Количество слоев
Параметры подсистем второго уровня
	Центральный механизм
		Качество материала Безопасность материала Пластичность материала Длина стороны
Параметры подсистем третьего уровня
	Толстое плечо креста	Симметричность относительно центра
	Тонкая ось креста
	Центральные кубики	Толщина внешней части Внешний диаметр выступа Внутренний диаметр выступа
	Реберные кубики	Длина до внутреннего выступа Длина внутреннего выступа Ширина внутреннего выступа Радиус скругления
	Угловые кубики	Длина до внутреннего выступа Длина внутреннего выступа
	Угловые кубики	Ширина внутреннего выступа Радиус скругления
Параметры подсистем четвертого уровня
		Внутренний диаметр Внешний диаметр Толщина шайбы
		Диаметр проволоки Стержень Внутренний диаметр Внешний диаметр Расточка Длина в сжатом состоянии Допустимая длина Свободная длина Количество витков Коэффициент упругости Длина под нагрузкой
		Марка стали Класс точности Класс прочности Поле допуска резьбы
	Цветные накладки	Безопасность материала Толщина основы Толщина клеевого слоя Ширина основы

Итоговое и суммарное количество функций

· Функции первого уровня - 1

· Функции второго уровня - 2

· Функции третьего уровня - 5

· Функции четвертого уровня - 4

Общие характеристики системы представлены в таблице 2.3

Таблица 2.3 - Общие характеристики системы

2.3 Информационное описание системы

Информационное описание должно давать представление об организации и управлении системой. Это наиболее полное описание, так как описывает систему уже в процессе ее функционирования. Информационное описание определяет зависимость морфологических и функциональных свойств системы от качества и количества внутренней (о самом себе и о среде) и внешней (поступающей из внешней среды) информации.

Принцип работы объекта исследования

На рисунках 2.2, 2.4 и 2.5 изображены внутренний крест, реберный кубик и угловой кубик соответственно. На рисунке 2.3 изображено крепление центрального кубика на внутреннем кресте

Рисунок 2.6 изображает внутреннюю сторону грани, снятой с креста.

Рисунок 2.7 изображает кубик Рубика, с которого снята одна грань и один реберный кубик.

Для большей наглядности на рисунках 2.6 и 2.7 центральные кубики, реберные кубики, угловые кубики и внутренний крест окрашены в разные цвета. Эта окраска не имеет отношения к цветным накладкам на внешних гранях кубиков.

На рисунках 2.6 и 2.7 видно как выступы на реберных и угловых кубиках складываются в почти цилиндрический выступ с внутренней стороны грани большого куба, а на среднем слое образуется цилиндрическое кольцеобразное углубление. Поворот грани отвечает повороту цилиндрического выступа в цилиндрическом углублении.

Роль пружины 4 (Рисунок 2.2) - в том, чтобы иметь возможность слегка оттягивать при поворотах вращающуюся грань.

Рисунок 2.2

Перечень элементов системы:

1) толстое плечо креста - 1;

2) тонкая ось креста - 6;

3) шайба - 6;

4) пружина - 6;

5) гайка - 6;

6) центральные кубики - 6;

7) реберные кубики - 12;

8) угловые кубики - 8;

9) цветные накладки -54 (9шт х 6цветов).

Свойства деталей элементов представлены в таблице 2.4

Таблица 2.4 - Свойства деталей элементов системы

	Наименование элемента	Обозначение	Количество свойств	Примечание
	Толстое плечо креста			1(1) - является несущим элементом системы
	Тонкая ось креста			1(2) - связывает механизм крепления центральных кубиков с толстым плечом креста 2(2) - является осью вращения граней
				1(3) - обеспечивает защиту пластмассовой части центрального кубика от продавливания металлической пружиной
				1(4) - развивает усилие в растянутом состоянии 2(4) - развивает усилие в сжатом состоянии 3(4) - обеспечивает подвижность грани
				1(5) - фиксирует положение пружины
	Центральные кубики			1(6) - обеспечивают крепление реберных и угловых кубиков
Продолжение таблицы 2.4
	Наименование элемента	Обозначение	Количество свойств	Примечание
	Реберные кубики			1(7) - вращаются вокруг центральных кубиков
	Угловые кубики			1(8) - вращаются вокруг центрального кубика
	Цветные накладки			1(9) - обеспечивают цветовую идентификацию всех видов кубиков

Среднегеометрическое число свойств на один элемент:

Структура объекта представлена на рисунке 2.3

Рисунок 2.3 - Граф системы

Связи системы между элементами системы:

1) Соединительные

3. Угловые кубики - центральный кубик

4. Реберные кубики - центральный кубик

5. Центральный кубик - шайба

6. Угловой кубик - цветные накладки

7. Реберный кубик - цветные накладки

8. Центральный кубик - цветная накладка

10. Пружина - гайка

11. Гайка - тонкая ось креста

12. Тонкая ось креста - толстое плечо креста

2) Преобразующие

1. Внешняя среда (пользователь) - угловые кубики

2. Внешняя среда (пользователь) - реберные кубики

9. Шайба - пружина

Количество связей на один элемент системы представлено в таблице 2.5

Таблица 2.5 - Количество связей на один элемент

Среднегеометрическое число связей на один элемент:

Определяем число квантов пространства, занимаемых элементами (Таблица 2.6).

Квант пространства элемента vi- объем прямоугольного параллелепипеда, ограничивающего заданный элемент.

Объем пространства существования элементов V - это объем куба с ребром, равным сумме максимальных габаритов размеров элементов.

Число квантов: =

Таблица 2.6 - Число квантов пространства, занимаемых элементами

	Наименование элемента	Габаритные размеры	Квант пространства элемента	Максимальный размер	Число квантов
	Толстое плечо креста
	Тонкая ось креста
	Центральные кубики
	Реберные кубики
	Угловые кубики
	Цветные накладки

Среднегеометрическое число квантов пространства:

2.4 Классификационное описание системы

Классификация - это разделение совокупности объектов на

классы по наиболее существенным признакам.

Результаты классификации системы представлены в таблице 2.7.

Таблица 2.7 - классификация системы по классификационным признакам

	Признак классификации	Тип системы по признаку	Определение
	По связи системы с окружающей средой	Открытая	Взаимодействует с окружающей средой
	По происхождению	Искусственная	Система создана человеком
	По объективности существования	Реальная	Система состоит из искусственных объектов
	По типу описания законов функционирования	Система типа «белый ящик»	Для данной системы законы функционирования известны полностью
	По способу управления системой	Система с комбинированным управлением	Блок управления в системе - это центральный механизм, но вращает грани человек
	По действию	Техническая	Данная система - совокупность взаимосвязанных физических элементов
	По централизации	Централизованная	В данной системе есть центральный механизм управления
	По однородности структуры	Разнородная	В данной системе элементы не взаимозаменяемы
	По типу сложности	Информационно-логическая	Данная система является головоломкой
	По мерности	Многомерная	В данной системе много входов и один выход
	По организованности	Хорошо организованная	Для данной системы определены все ее элементы, связи и цели
	По линейности	Нелинейная	Не описывается линейным уравнением
	По непрерывности	Дискретная	Все элементы данной системы дискретны
	По обусловленности действия	Детерминированная	Входы однозначно определяют выход

3. Модельное представление объекта исследования

3.1 Основные уравнения, описывающие объект исследования

Для обозначения последовательности поворотов граней кубика Рубика 3Ч3Ч3 используется «нотация Сингмастера» , разработанная Дэвидом Сингмастером и опубликованная им в 1981 г.

Буквы L, R, F, B, U, D обозначают поворот на 90° по часовой стрелке левой (left), правой (right), передней (front), задней (back), верхней (up) и нижней (down) граней соответственно. Повороты на 180° обозначаются добавлением справа к букве цифры 2 или добавлением в верхнем индексе цифры 2 справа от буквы. Поворот на 90° против часовой стрелки обозначается добавлением штриха (?) или добавлением в верхнем индексе -1 справа от буквы. Так, например, записи L2 и L2; L? и L-1 эквивалентны.

Существует два наиболее распространённых способа измерения длины решения (метрики). Первый способ -- одним шагом (ходом) решения считается поворот грани на 90° (quarterturnmetric, QTM). По второму способу -- за 1 ход также считается и полуоборот грани (faceturnmetric, FTM, иногда это обозначают HTM -- half-turnmetric). Так, F2 (поворот передней грани на 180°) должен считаться за два хода в метрике QTM или за 1 ход в метрике FTM.

Для указания в тексте длины последовательности для используемой метрики используется нотация, состоящая из цифр числа ходов и строчной первой буквы обозначения метрики. Так, 14f обозначает «14 ходов в метрике FTM», а 10q -- «10 ходов в метрике QTM». Чтобы указать, что количество ходов является минимальным в данной метрике, используется звёздочка: 10f* обозначает оптимальность решения в 10 ходов FTM.

3.2 Входные и выходные величины

Входными величинами являются всевозможные состояния кубика Рубика. Единственной выходной величиной является нулевое (собранное) состояние.

3.3 Исследование преобразований состояний кубика Рубика с помощью математической теории групп

Состояния - различные варианты сборки кубика Рубика, возникающие при произвольной расстановке 8 угловых кубиков по вершинам куба и 12 реберных - по ребрам. Центральные кубики во всех состояниях расположены одинаково - так же, как в нулевом состоянии, когда каждая грань куба окрашена в один цвет. Если состояние S2 можно получить из состояния S1 с помощью некоторой операции, то и от S2 можно перейти к S1, изменив направление каждого из поворотов на противоположное и выполняя их в обратном порядке. В этом случае состояния S1 и S2 являются связанными.

Чтобы полностью описать состояние кубика Рубика, нужно для каждого маленького кубика указать место, которое он занимает, и его ориентацию на этом месте. Каждый угловой кубик можно поместить в одно и то же место тремя, а реберный - двумя способами.

Пусть кубик Рубика находится в нулевом состоянии. Перенумеруем его вершины и находящиеся в них угловые кубики числами от 1 до 8, а ребра и соответствующие реберные кубики - числами от 1 до 12. Кроме того на каждом ребре большого куба выберем определенное направление (вектор).

Теперь местонахождение i-го углового (j-го среднего) кубика в состоянии S можно задать номером уS(i) (фS(j)) той вершины (ребра), где он находится (i = 1..8, j = 1..12).

Чтобы задать ориентацию угловых кубиков, выделим пару противоположных граней большого куба, например его горизонтальные грани. Для определенности предположим, что верхний кубик - синий, а нижний - зеленый. Каждый угловой кубик имеет либо одну грань синего цвета, либо одну грань зеленого цвета. Угол б (б = 00, 1200 или 2400), на который следовало бы повернуть этот кубик в его положении вокруг диагонали большого куба против часовой стрелки, чтобы эта грань (синяя или зеленая) стала горизонтальной, будем называть углом поворота данного углового кубика в состоянии S и об означать бS(i), где i - номер кубика.

Ориентацию j-го реберного кубика в состоянии S зададим углом вS(i) между вектором ребра, на котором кубик должен находиться, и вектором ребра, на котором он находится (фS(j)-го ребра). Угол вS(i) может равняться 00 или 1800; будем называть его углом поворота j-го реберного кубика в состоянии S.

Проследим, как изменяются характеристики состояний бS, вS, фS и уS при поворотах граней. Легко проверить что:

1) Углы поворотов угловых кубиков не изменяются при поворотах четырех вертикальных граней на 1800 и при произвольных поворотах горизонтальных граней.

2) Углы поворотов реберных кубиков не изменяются при поворотах двух противоположных граней на 1800 и при произвольных поворотах остальных граней.

3) При повороте любой вертикальной грани на ±900 к углам поворотов бs двух кубиков, стоящих в ее противоположных вершинах, добавляется по 1200, а к углам поворотов двух ее других угловых кубиков добавляется по 2400.

4) При повороте правой или левой грани на ±900 меняются углы поворотов всех четырех реберных кубиков этой грани.

Отсюда немедленно вытекает, что суммы углов поворотов всех угловых и всех реберных кубиков

A(S) = бS(1) + бS(2) + … + бS

B(S) = вS(1) + вS(2) + … + вS

остаются постоянными при всех поворотах граней. Такие характеристики состояний называются инвариантами. Значения любого инварианта для двух связанных состояний S1 и S2 совпадают. Поэтому равенства A(S1) = A(S2) и B(S1) = B(S2) являются необходимыми условиями связанности состояний. Присоединив к ним аналогичное равенство для еще одного инварианта, получаются достаточные условия.

Перестановкой конечного множества называется любое отображение этого множества на себя. Таким образом, функция уs заданная на множестве {1, …, 8}, является перестановкой этого множества, а фS - перестановка множества {1, … , 12}. С любой операцией F также связаны две перестановки фF и уFэтих же множеств: если нулевое состояние S0 переводится операцией F в состояние S, то, по определению, уS(i) = уF(i), фF(j) = фS(j). Другими словами, уF(i) и фF(j) - это номера тех мест, которые занимают в результате операции F угловой кубик, стоявший на i-м месте, и реберный кубик, стоявший на j-м месте.

Выполнив одну за другой перестановки у1 и у2 одного и того же множества, мы снова получим его отображение на себя - перестановку у. Она называется композицией перестановок у1 и у2: у = у1 _ у2.

Пусть у - произвольная перестановка множества {1, 2, … , n}. Нарисуем одну под другой две строчки по n точек. Если при перестановке у число i переходит в j, соединим i-ю точку верхней строки отрезком с j-й точкой нижней строки - мы получим граф перестановки у. Обозначим через N(у) число точек пересечения отрезков графа (точку, в которой пересекается больше двух отрезков, сосчитаем столько раз, сколько пар отрезков ее содержит). Перестановка у называется четной (нечетной), если число N(у) четно (нечетно). Знак перестановки у определим равенством е(у) = (-1) N(у). е(у) равно 1 или -1 в зависимости от того, четна или нечетна перестановка. Выясним, как зависит четность композиции у1 _ у2 от четностей у1 и у2. Граф композиции строится очень просто: совмещаем нижнюю строку графа перестановки у1 с верхней строкой графа у2 - получается промежуточный граф, а затем заменяем каждую ломаную в промежуточном графе на отрезок, соединяющий ее концы. Число точек пересечения ломаных в промежуточном графе равно N(у1) + N(у2). При распрямлении число точек пересечения ломаных может уменьшиться, но его четность сохранится.

Таким образом, N(у1 _ у2) и N(у1) + N(у2) - числа одной четности; следовательно, е(у1 _ у2) = (-1) N(у1 _ у2) = (-1) N(у1) + N(у2)= (-1) N(у1) Ч 1N(у2) = е(у1) _ е(у2). Другими словами, композиция двух перестановок четна, если их четности совпадают, и нечетна в противном случае.

Допустим, что перестановка у множества из n элементов оставляет неподвижными n - mэлементов, а остальные m элементов можно упорядочить так, что первый из них переходит во второй, второй - в третий, i-й - в (i+1)-й, а m-й элемент - опять в первый. Тогда перестановка называется циклом длины m или m-циклом.

Назовем знаком состояния S число е(S) = е(уS) _ е(фS). Оно равно 1 или -1 в зависимости от того, совпадают или нет четности перестановок уSи фS.

Рассмотрим поворот F любой грани на 900. Пусть в результате этого поворота кубик Рубика перешел из состояния S в состояние S". Тогда уS" = уS _ уF, фS" = фS _ фF. Перестановки уFи фF - это 4-циклы, поэтому они нечетны и е(уF) = е(фF) = -1. Следовательно, е(уS") = е(уS)Ч е(уF) = -е(уS), е(фS") = е(фS)Ч е(фF) = -е(фS)и е(S") = е(S). Знак состояния не меняется при поворотах граней. Это и есть третий инвариант.

Система инвариантов A(S), B(S) и е(S) - полная, то есть совпадение их значений для двух состояний обеспечивает связанность этих состояний.

3.4 Анализ некоторых алгоритмов решения головоломки

Первые разработанные алгоритмы требовали 200-300 ходов (поворотов граней) для того, чтобы вернуть кубик в нулевое состояние.

Постепенно длина алгоритмов (т.е. минимальное число ходов, гарантирующее решение) сокращалась. Это происходило за счет изменения последовательности сборки разных частей головоломки (улучшения стратегии) и применения более коротких операций для перестановки и правильной ориентации кубиков (улучшения тактики). Ставший самым популярным «послойный» алгоритм кубика Рубика осуществляет сборку не более чем за 108 ходов. Совершенствуя его, удается уменьшить это число до 86 ходов. Дальнейшие улучшения требуют резкого увеличения количества формул, которые необходимо держать в голове или на бумаге в процессе сборки.

Одновременно с любителями решать головоломку, держа ее в руках, неприступный кубик штурмовали и программисты. Сначала успеха добились те из них, кто взялся за малый кубик размером 2Ч2Ч2. Задачу они решали с конца: исходя из нулевого состояния кубика, программа начинает разрушать его, получая и запоминая результаты всевозможных поворотов граней. Если какая-либо расцветка кубика появляется повторно, то соответствующая операция игнорируется, так что в памяти компьютера остаются только самые короткие формулы. В результате был получен список всевозможных состояний малого кубика с указанием после каких поворотов граней они впервые появились. Этот список никогда не был ни опубликован, ни напечатан хотя бы в одном экземпляре. Причина не столько в его громадных размерах, сколько в том, что из-за таких размеров слишком трудно найти в списке нужную в данный момент операцию.

Поворачивая грани 12 раз, компьютер не нашел ни одного нового состояния Малого кубика. Следовательно, чтобы решить головоломку из 8 кубиков, всегда достаточно сделать не более 11 ходов.

Малый кубик есть не что иное, как 8 угловых кубиков классического кубика Рубика. Но в последнем - 26 кубиков, а это усложняет задачу перебора. Кубик Рубика может иметь N 4,3Ч1019 различных состояний.

Из программистов, занимавшихся разработкой алгоритма для классического кубика Рубика, первым добился успеха английский математик Морвин Тистлетуэйт, который в июле 1981г. разработал алгоритм, позволявший всегда упорядочить кубик Рубика не более чем за 52 хода. Хотя в принципе с помощью этого алгоритма можно собрать кубик Рубика и вручную, реально его может выполнить только компьютер. В дальнейшем этот алгоритм удалось несколько улучшить - сначала этого добился сам англичанин, а позже, в декабре 1990г. Ханс Клостерман из Голландии довел длину алгоритма до 42 ходов. Важно отметить, что эта граница обоснована строго, а не эмпирически, т.е. доказано, что из любого состояния кубика Рубика можно вернуться в нулевое не более чем за 42 хода, причем данный алгоритм не может гарантировать лучшего результата. Это означает, что другой алгоритм не может оказаться короче. Конечно, это доказательство существенно использует компьютер: для каждого из этапов сборки был осуществлен полный перебор вариантов, число ходов, понадобившееся в худшем случае, и принимается за длину данного этапа.

Нового достижения в 1992г. добился немецкий математик Герберт Коцемба. Он был среди тех, кто занимался малым кубиком, но затем примкнул к программистам, исследующим классический кубик Рубика. Он разработал алгоритм и написал программу, которая позволяет собрать головоломку не более чем за 21 ход. Эта оценка длины, в отличие от предыдущей, эмпирическая: все состояния кубика Рубика, которые предлагались программе Коцембы, были упорядочены не более чем за 21 ход.

В июле 2010 года программист из Пало-Альто Томас Рокики, учитель математики из Дармштадта Герберт Коцемба, математик из Кентского университета Морли Дэвидсон и инженер компании Google Inc. Джон Детридж доказали, что каждая конфигурация кубика Рубика может быть решена не более чем в 20 ходов. При этом любой поворот грани считался одним ходом. Таким образом, число Бога в метрике FTM оказалось равно 20 ходам. Объём вычислений составил около 35 лет процессорного времени, пожертвованного компанией Google. Технические данные о производительности и количестве компьютеров не разглашаются; продолжительность вычислений составляла несколько недель.

В августе 2014 г. Томас Рокики и Морли Дэвидсон объявили, что в метрике QTM число Бога равно 26q.

3.4.1 Алгоритм Тистлетуэйта

Тистлетуэйт использовал ряд подгрупп длины 4

· G0 = (L, R, F, B, U, D)

Эта группа совпадает с группой кубика Рубика. Её порядок равен

· G1 = (L2, R2, F, B, U, D)

Эта подгруппа включает в себя все состояния, которые могут быть решены без использования поворотов левой или правой граней на ±90°. Её порядок равен

· G2 = (L2, R2, F2, B2, U, D)

Эта подгруппа включает в себя все состояния, которые могут быть решены при условии, что повороты четырёх вертикальных граней на ±90° запрещены. Её порядок равен

· G3 = (L2, R2, F2, B2, U2, D2)

Эта подгруппа включает в себя все состояния, которые могут быть решены с использованием только поворотов на 180°. Её порядок равен

Эта подгруппа включает в себя единственное нулевое состояние.

На первом этапе произвольно заданное состояние из группы G приводится к состоянию, лежащему в подгруппе G1. Цель второго этапа состоит в том, чтобы привести кубик к состоянию, находящемуся в подгруппе G2, не используя поворотов левой и правой граней на ±90°. На третьем этапе кубик Рубика приводится к конфигурации, принадлежащей группе G3, при этом повороты вертикальных граней на ±90° запрещены. На заключительном, четвёртом этапе, кубик Рубика полностью собирается поворотами граней на 180°.

Упомянутые группы промежуточных состояний определяются путем вычисления определенных характеристик этих состояний. Эти характеристики, сохраняющиеся при любых разрешенных действиях, математики называют инвариантами. Каждая подгруппа соответствует своему набору инвариантов и их значений.

Тистлетуэйт, проделав весьма кропотливую работу по перебору алгоритмов, показал, что для первого этапа всегда достаточно 7 ходов, для второго - 13, для третьего - 15, а для четвертого - 17. Итого весь алгоритм требует не более чем 52 хода. Этот результат был намного лучше, чем могли в то время дать все остальные алгоритмы сборки кубика. У него был один-единственный "недостаток": он никак не помогал собрать кубик вручную.

3.4.2 Алгоритм Коцембы

Алгоритм Тистлетуэйта был в 1992 году улучшен учителем математики из Дармштадта Гербертом Коцембой.

Коцемба сократил количество этапов алгоритма до двух

· G0 = (U, D, L, R, F, B)

· G1 = (U, D, L2, R2, F2, B2)

Наглядное описание группы G1 можно получить, если произвести следующую разметку (рисунок 3.1):

· Все этикетки U и D пометить знаком «+».

· Все этикетки на рёберных элементах FR, FL, BL и BR пометить знаком «-»

· Все остальные этикетки оставить без меток.

Тогда все конфигурации группы будут иметь одну и ту же разметку (совпадающую с разметкой на собранном кубике).

Рисунок 3.1 - Промежуточное состояние кубика Рубика в алгоритме Коцембы. Группа G1

Алгоритм Коцембы еще в меньшей степени, чем алгоритм Тистлетуэйта, можно назвать "алгоритмом сборки" в привычном смысле этого слова. Реализовать этот алгоритм способен только достаточно быстрый компьютер с большой оперативной памятью. Однако сама идея довольно проста.

Вся сборка кубика разбивается на 2 этапа. На первом этапе допускаются любые повороты граней. Единственной целью первого этапа является приведение кубика в некоторое "промежуточное" состояние. Как только кубик после некоторого числа поворотов оказался в промежуточном состоянии, начинается второй этап. В этом этапе используются уже не все возможные повороты граней, а только такие, которые не выводят кубик из класса промежуточных состояний. Нулевое состояние (полностью собранный кубик) также принадлежит этому классу, поэтому рано или поздно оно будет найдено обыкновенным перебором вариантов.

Если суммарное число ходов, затраченных на первый и второй этап, больше 21, то программа возвращается к первому этапу и берет следующее промежуточное состояние. Экономия перебора, получаемая благодаря этой идее, колоссальна: на первом этапе рассматривается примерно вариантов, а на втором - вариантов. Итого программа должна просмотреть около вариантов, а это число на 9 порядков меньше, чем общее количество состояний куба.

У алгоритмов Коцембы и Тистлетуэйта есть много общего. Например, оба они используют такое понятие, как класс промежуточных состояний. При этом "промежуточные состояния Коцембы" практически совпадают со "вторым классом промежуточных состояний" Тистлетуэйта. Разница только в системе обозначений - на втором этапе Коцемба разрешает произвольные вращения U и D, и повороты на 180 остальных граней, а Тистлетуэйт на своем третьем этапе оставлял для произвольных вращений грани F и B. Иначе говоря, первый этап способа Коцембы соответствует двум первым этапам алгоритма Тистлетуэйта, а второй этап - двум последним. Различия между этими алгоритмами не столь заметны, но более принципиальны. А именно, Тистлетуэйт получил конкретные наборы операций и привел строгие математические доказательства, обосновывающие указанные им длины каждого этапа. А Герберт Коцемба, не утруждая себя никакими обоснованиями, просто бросил вызов всем любителям: можете присылать мне все те задачки, которые у вас не получаются, и моя программа справится с ними за 20 ходов!

Реально программа Коцембы немного сложнее, чем это описано выше. Она не делает полного перебора вариантов ни на одном из своих этапов. Вместо этого она тратит некоторое время на создание специальных фильтров: огромных массивов, содержащих списки состояний, из которых можно достичь конечного (для этого этапа) состояния за определенное число ходов (от 1 до 8). Начав сборку кубика, программа пытается выполнить первый этап за 10 ходов. Она делает первые два хода и смотрит массив-фильтр на 8 ходов. Если состояние не отсеется, то делается третий ход и просматривается фильтр на 7 ходов и т.д. В противном случае делается другой второй ход. Точно по такой же схеме выполняется и второй этап сборки - на него программа Коцембы отводит не более 14 ходов.

Сообщение Коцембы неоднократно перепроверялось и уточнялось другими специалистами. В результате оказалось, что для обоих этапов оценки, количества ходов, приведенные Коцембой, чересчур оптимистичны: существуют начальные позиции, из которых нельзя закончить первый этап быстрее чем за 12 ходов, кроме того, существуют состояния из "промежуточного" класса, от которых нельзя перейти к собранному кубику быстрее чем за 18 ходов. Приведенные числа 12 и 18 - это точные границы: последователям Коцембы удалось произвести полный перебор для 1-го и 2-го этапов. Таким образом, доказано, что алгоритм Бога имеет длину не более 30 ходов.

3.4.3 Метод CFOP (метод Джессики Фридрих)

CFOP - это название четырёх стадий сборки(рисунок 3.2): Cross, F2L, OLL, PLL:

1) Cross - сборка креста, четырёх рёберных кубиков на нижней грани;

2) F2L (First two layers) - первые два слоя - нижний и средний;

3) OLL (Orient the last layer) - ориентацияпоследнегослоя;

4) PLL (Permute the last layer) - перестановка последнего слоя.

Рисунок 3.2 - Четыре стадии метода CFOP

Единственный этап для которого нет четкой методики.

Основная хитрость сборки креста в том, что его надо собирать относительно. К примеру, если собирается крест на белой грани и бело-синий рёберный кубик уже на ней стоит белым цветом к белому центру, то не так важно, совмещена ли синяя сторона этого кубика с синей гранью. Достаточно поставить бело-зелёный кубик на противоположной стороне, а бело-красный и бело-оранжевый слева и справа. В процессе сборки можно крутить белую грань как угодно, а в конце одним движением сразу совместить все боковые центры с кубиками креста. Важно лишь помнить точный порядок цветов на кубике: если смотреть на белую грань, то по часовой стрелке идут синий, красный, зелёный, оранжевый (сзади -- жёлтый).

Нужно расставить на места восемь кубиков: четыре угловых нижнего слоя и четыре рёберных боковых в среднем слое. Начинающих пара из углового и рёберного кубика собирается сразу же (то есть надо собрать четыре таких пары). В зависимости от первоначальной расстановки кубиков пары нужно применить тот или иной алгоритм (последовательность поворотов). Всего таких алгоритмов больше 40.

Основная сложность этапа в том, чтобы быстро находить парные кубики. Они могут находиться в 16 различных местах: 8 мест в последнем слое и 8 в столбиках. Столбики просматривать сложнее, а чем меньше столбиков собрано, тем больше шансов, что в несобранных находятся нужные кубики. Если вы при сборке креста не обращали внимания на кубики для F2L, при переходе к этому этапу вы можете потерять много времени просто на поиск.

На этом этапе кубики последнего слоя ориентируются так, чтобы последняя грань оказалась собранной. При этом неважно, что кубики не стоят на своих местах: для этого существует последний этап.

Существует 57 различных исходных ситуаций, для каждой из которых есть свой алгоритм сборки, от 6 до 14 ходов.

Заключительный этап сборки состоит в том, чтобы расставить кубики последнего слоя на нужные места. Подход примерно аналогичный предыдущему этапу, но комбинаций и алгоритмов здесь меньше, всего 21 (13, если считать зеркальные и обратные за одну). С другой стороны их несколько сложнее опознавать, так как здесь надо учитывать разные цвета, причём цвета на схеме могут не совпадать с фактическими цветами (с точностью до циклической перестановки):

3.4.4 Основные факторы, влияющие на оптимизацию групп преобразований состояний кубика Рубика

Деление пространства позиций

Количество состояний кубика Рубика было разбито на 2 217 093 120 групп, в каждую входило по 19,508,428,800 различных состояний. Одна такая подзадача легко помещается в память современного компьютера, и этот метод позволил достаточно быстро получить решение.

1. Симметрия

Если повертеть Кубик Рубика влево-вправо или вверх-вниз, то, по сути, ничего не изменится: число шагов в решении останется тем же самым. Вместо того, чтобы решать все эти состояния, можно получить решение для одного и распространить его на повернутые состояния. Есть 24 различных ориентации в пространстве и 2 зеркальных положения Кубика для каждого состояния, что позволяет уменьшить число решаемых состояний в 48 раз. Если использовать аналогичные рассуждения и воспользоваться поиском задачи “покрытия множества”, то число подзадач уменьшается от 2 217 093 120 до 55882296.

2. Хорошие и оптимальные решения

Оптимальное решение содержит достаточное количество шагов, но не более, чем необходимо. Так как уже известно одно состояние, для которого требуется 20 шагов, то можно не искать оптимальное решение для каждого состояния, а только решения в 20 или менее шагов. Это многократно ускоряет задачу.

3. Оборудование

Для решения 55 882 296 подзадач компания Google предоставила целый парк компьютеров и все вычисления заняли всего несколько недель. Google не раскрывает характеристики компьютеров, но было затрачено 1,1 миллиард секунд (35 лет) компьютерного времени на выполнение расчетов.

Заключение

В данной работе была рассмотрена группа преобразований состояний кубика Рубика.

Показана актуальность и практическая значимость работы.

Детально была рассмотрена структура системы. Проведена классификация системы, а также следующие описания:

· морфологическое, описывающее структуру системы, а также свойства каждого элементы системы;

· функциональное, в основе которого лежат составные части системы, их функции, входные и выходные данные;

· информационные, предоставляющее анализ свойств и связей каждого элемента системы.

Были изучены алгоритмы преобразования групп состояний кубика Рубика и определены основные факторы, влияющие на оптимизацию групп преобразований состояний кубика Рубика.

Список литературы

1. Jerry Slocum, David Singmaster, Wei-Hwa Huang, Dieter Gebhardt, Geert Hellings The Cube: The Ultimate Guide to the World"s Bestselling Puzzle - Secrets, Stories, Solutions. - N. Y., 2009

2. М. Евграфов Механика волшебного кубика // Квант. -- 1982. -- № 3. -- С. 20-25

3. David Joyner Adventures in group theory: Rubik"s Cube, Merlin"s machine, and Other Mathematical Toys. -- Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2002. -- С. 7.

4. В. Дубровский Алгоритм волшебного кубика // Квант. -- 1982. -- № 7. -- С. 22-25.

5. God"s Number is 20 [Электронныйресурс] // URL: cube20.org

6. К. Кноп Кубик Рубика: штурм твердыни [Электронный ресурс]// URL: http://geocities.com/CapeCanaveral/4344/192.html

Приложение А

Алгоритм CFOP (алгоритм Джессики Фридрих)

Язык вращений:

F - front - фронтальная сторона

B - back - задняя сторона

L - left - левая сторона

R - right - правая сторона

U - up - верхняя сторона

D - down - нижняя сторона

Fw - фронтальная вместе со средним слоем

Bw - задняя вместе со средним слоем

Lw - левая вместе со средним слоем

Rw - правая вместе со средним слоем

Uw - верхняя вместе со средним слоем

Dw - нижняя вместе со средним слоем

M - средний слой, находящийся между левым и правым слоями

S - средний слой, находящийся между фронтальным и задним слоями

E - средний слой, находящийся между верхним и нижним слоями

x - весь куб вращается от себя по плоскости, совпадающей с правым слоем. Это, по сути, то же самое, что повернуть правую грань кубика по часовой стрелке вместе со всем кубиком.

y - весь куб по часовой в горизонтальной плоскости (верхнюю грань кубика по часовой стрелке вместе со всем кубиком)

z - весь куб по часовой в фронтальной плоскости (фронтальную грань кубика по часовой стрелке вместе со всем кубиком)

Приложение Б

Применение Кубика Рубика для объяснений в теории групп

1. Множества и функции

Ш Множествоэто набор элементов,каждый из которых содержится в множестве более одного раза.(Конечное) множество может быть задано явно в виде списка внутри пары фигурных скобок, например{2,4,6,8}это множество четных натуральных чисел меньше 10. Оно состоит из четырех элементов.Есть бесконечные множества - множества, имеющие бесконечное число элементов - таких, как множество целых чисел, но, как правило, обсуждаются только конечные множества (и группы).

На головоломках, мы часто рассматриваем множество состояний головоломки.

Ш Функция F: АBотображающая множество А в множество В - это отношение, которое каждому элементу множества A сопоставляет некоторый элемент множества В.

Шаг на головоломки - это функция на множестве состояний. Шаг применяется к одному состоянию для перехода в другое.

Ш Функция F:А -> B называется инъективной, если она сопоставляет различным элементам множества А различные элементы множества B.

Функция F:А -> B называется сюръективной, если каждый элемент множества B она сопоставляет с элементом множества А.

Функция F:А -> B называется биективной, если она является как инъективной, так и сюрьективной.

Функция f называется обратной к F (как правило обозначается F-1), если F:А -> B имеет обратную F-1:В -> А, такую, что всякий раз, когда аF = b, то bF-1 = а

Вращения кубика Рубика всегда обратимы. Например, шаг R, поворот по часовой стрелке правой грани, может быть отменен путем поворота правой грани против часовой стрелки. Обозначается какR-1, хотя R" является более распространенной.

Ш Композицией двух функций F:А -> B и G:B -> С, называется функция, которая является результатом применения сначала F, а затем G. Таким образом, отображение элемента множества А в элемент множества С определяется по формуле = (аF)G. Эта функция обозначается F ? G.

Вращения могут быть объединены в последовательности вращений.

Любая последовательность шагов - это композиция. Например, если мы применяем последовательность вращений FRBк состоянию S, мы можем сделать ходы по одному, которые дают формулу ((SF)R)B, или в качестве одной функции F о R о В, что дает S (F о R о В).

Ш Функция тождества IA:A ->A. Определяется аI = а для любого элемента а из множества А. Легко увидеть, функция тождества биективна.

Тождество на кубе - это последовательность перемещений, которые в итоге не меняют состояние, например, F2 B2 L2 R2 F2 B2 L2 R2.

2. Группы и гомоморфизмы

Ш Группа замкнута относительно умножения, то есть, если перемножить любые два элемента группы, то результатом будет элемент этой же группы.

Можно объединить две последовательности ходов, чтобы получить третью.

Ш Существует единичный элемент, т.е. элемент е в группе такой, что для любого элемента g в группе у нас есть ge = eg = g.

Единичным элементом группы кубика Рубика является отсутствие вращения.

Ш Каждый элемент имеет обратный, то есть, если G есть элемент группы, то есть элемент H в группе такой, что GH = HG = е. Обратный элемент G обозначается G-1.

Обратным элементом группы кубика Рубика является инверсия вращения, т.е. вращение в обратную сторону на тот же угол поворота.

Ш Умножение ассоциативно, то есть, если, В и С являются элементами группы, то (АВ) С = А (ВС).

Ассоциативность группы кубика Рубика очевидна

Ш Группа конечна, если она имеет конечное число элементов. Число элементов в группе G называется порядком группы, и обозначается | G |.

Число состояний куба конечно, и, следовательно, число функций на этом множестве состояний также конечно. Группа кубика Рубика, следовательно, также конечна.

Существует еще одна группа - группа вращений куба в целом. Мы можем сделать верхней любую из шести граней, а затем есть четыре варианта, какая из смежных граней должны стать фронтальной. Следовательно, есть 24 возможные ориентации куба. Вращение всего куба это изменение между двумя такими ориентациями.

Ш Порядок элемента g в группе это наименьшее натуральное число N, для которого gN = е (если такое N существует), где показатель обозначение gN имеет естественный смысл повторного умножения. Если такого числа не существует, то g, как говорят, бесконечный порядок. Порядок g обычно обозначается O (G).

В конечной группе все элементы имеют конечный порядок

Группа куба конечна. Если делать какие-либо последовательные вращения, а также постоянно повторять их, то в конечном итоге получится начальное состояние.

Ш Гомоморфизм - это отображение F: G -> H ставящее в соответствие всякому элементу g из группы G однозначно определенный элемент h из группы H, если всякий элемент g из группы G служит при этом отображении образом некоторого элемента h из группы H, и если для любых элементов g1, g2 группы G выполняется равенство (g1 · g2) F = (g1) F · (g2) F. Если гомоморфизм взаимно однозначен, то он называется изоморфизмом.

Существует гомоморфизм из обычного кубика Рубика 3 Ч 3 Ч 3 на Малый кубик 2 Ч 2 Ч 2. Любой шаг последовательности на кубике Рубика также может быть выполнен на Малом кубике. Таким образом, любая перестановка на обычном кубике привязывается к некоторой перестановке на маленьком кубике. Это отображение не является изоморфизмом, так как маленький кубик имеет группу, которая является упрощенной версией группы большего кубика.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Особенности факторизации четырехмерных симплектических групп. Исследование и анализ композиции геометрических преобразований. Характеристика изометрии, закономерных пространств. Методы решения структурных теорем – центры, коммутанты, теоремы о простоте.

дипломная работа , добавлен 14.02.2010


Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп как направлениt в теории конечных групп. Обзор конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп в случаях, когда F - произвольная S-замкнутая формация p-нильпотентных групп.

курсовая работа , добавлен 07.03.2010


Группа, как совокупность преобразований, замкнутая относительно их композиции. Изучение нильпотентных групп, их простейших свойств и признаков. Особенности доказывания теорем Силова, Лагранжа, Виланда. Подгруппа Фраттини конечной группы нильпотентна.

курсовая работа , добавлен 10.04.2011


Возникновение и развитие теории групп. Проблема интегрирования дифференциальных уравнений. Алгебраические конструкции в теории автоматов. Появление понятия перестановок. Группы и классификация голограмм. Применение теории групп в квантовой механике.

реферат , добавлен 08.02.2013


Решение системы линейных уравнений методами Крамера, Гаусса (посредством преобразований, не изменяющих множество решений системы), матричным (нахождением обратной матрицы). Вероятность оценки события. Определение предельных вероятностей состояний системы.

контрольная работа , добавлен 26.02.2012


Строение конечных групп по заданным свойствам их обобщенно субнормальных подгрупп. Использование методов абстрактной теории групп и теории формаций конечных групп. Субнормальные и обобщенно субнормальные подгруппы и их свойства. Обобщение теоремы Хоукса.

дипломная работа , добавлен 20.12.2009


Систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Решение системы алгебраических уравнений для финальных вероятностей состояний. Графики зависимостей. Тип системы массового обслуживания по характеру входящего потока и распределению времени обслуживания.

контрольная работа , добавлен 01.03.2016


От анализа Фурье к вейвлет-анализу. Некоторые примеры функций вейвлет-анализа в MATLAB. Построение систем полуортогональных сплайновых вейвлет. Применение вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений. Вейвлеты пакета wavelet toolbox.

дипломная работа , добавлен 12.04.2014


Сущность теории групп. Роль этого понятия в математике. Мультипликативная форма записи операций, примеры групп. Формулировка сущности подгруппы. Гомоморфизмы групп. Полная и специальная линейная группы матриц. Классические группы малых размерностей.

курсовая работа , добавлен 06.03.2014


Описание ненильпотентных групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами. Изучение групп с Х-перестановочными I-максимальными подгруппами. Особенности групп, в которых 2-максимальные подгруппы перестановочны с 3-максимальными подгруппами.

Головоломка, придуманная как наглядное пособие к алгебраической теории, неожиданно увлекла весь мир. Уже не одно десятилетие далекие от высшей математики люди азартно бьются над сложной и увлекательной задачей. «Магический кубик» – отличный инструмент для развития логического мышления и памяти. Тем, кто впервые задался вопросом, как собрать кубик Рубика, схемы и комментарии помогут поддержать энтузиазм, и, возможно, открыть для себя мир спидкубинга.

Шесть граней головоломки имеют определенные цвета и порядок их расположения, запатентованные изобретателем. Многочисленные подделки часто выдают себя именно непривычными цветами или их положением относительно друг друга. Обучающие схемы и описания всегда используют стандартное цветовое оформление. Новичкам довольно просто запутаться в объяснениях, если использовать кубик с другой цветовой схемой.

Цвета противоположных граней: белый – желтый, зеленый – синий, красный – оранжевый.

Каждая сторона состоит из нескольких квадратных элементов. По их количеству различают виды кубиков Рубика: 3*3*3 (первый классический вариант), 4*4*4 (так называемая «Месть Рубика»), 5*5*5 и так далее.

Первая модель, собранная Эрнё Рубиком, представляла собой 27 деревянных кубиков, одинаково покрашенных в шесть цветов и составленных друг на друга. Изобретатель в течение месяца пытался сгруппировать их так, чтобы грани большого куба сложились из одинаковых по цвету квадратов. Еще больше времени заняла разработка механизма, который скрепил все элементы.

Современный кубик Рубика классической конструкции состоит из следующих элементов:

• Центры – неподвижные относительно друг друга части, закрепленные на осях вращения кубика. Они обращены к пользователю только одной окрашенной стороной. Собственно, шесть центров и образуют зеркальные пары в цветовой схеме.
• Ребра – подвижные элементы. Пользователь видит две цветные стороны у каждого ребра. Цветовые комбинации здесь тоже стандартные.
• Углы – восемь подвижных элементов, расположенных в вершинах куба. У каждой из них по три цветные стороны.
• Скрепляющий механизм – крестовина из трех жестко закрепленных осей. Существует альтернативный вариант механизма, похожий на сферу. Его используют в скоростных или многоэлементных кубиках. Особенно сложна конструкция кубов с четным количеством элементов на гранях – это система взаимосвязанных клик механизмов, иногда объединенная с крестовиной. Существуют магнитные механизмы для профессиональных скоростных кубов.

Игра с кубиком Рубика заключается в том, что при помощи подвижного механизма цветные элементы на гранях переупорядочивают и пытаются собрать в первоначальном порядке.

Фанаты головоломки соревнуются в решении на время. Кроме ловкости рук, для этого необходимо изучить, запомнить и довести до автоматизма сотни комбинаций цветных элементов и действий с ними. Этот необычный вид спорта называется спидкубинг.

Регулярно проводятся турниры спидкуберов, обновляются рекорды. Постоянно открываются новые горизонты для достижений. В рамках турниров проводятся соревнования по сборке вслепую, одной рукой, ногами и так далее.

Новейшее увлечение – сборка пасьянсов (узоров) на кубике.

Для того чтобы описывать манипуляции с головоломкой, записывать схемы решений, движения элементов относительно друг друга, и просто для удобства общения был создан язык вращений. Он представляет собой буквенные обозначения для каждой грани и для способов ее вращения.

Стороны головоломки обозначают заглавными буквами.

В русскоязычных руководствах по сборке кубика Рубика используют начальные буквы от русских названий:

• Ф – от «фасад»;
• Т – от «тыл»;
• П – от «правая»;
• Л – от «левая»;
• В – от «верх»;
• Н – от «низ».

В мировом сообществе используют начальные буквы от названий граней по-английски.

Обозначения, принятые в WCA (World Cube Association):

• R – от right;
• L – от left;
• U – от up;
• D – от down;
• F – от front;
• B – от back.

Центральный элемент называется так же, как грань (R, D, F и так далее).

Ребро примыкает к двум граням, его название состоит из двух букв (FR, UL и так далее).

Угол, соответственно, описывается тремя буквами (например, FRU).

Группы элементов, которые составляют средние слои между гранями, тоже имеют свои названия:

• M (от middle) – между R и L.
• S (от standing) – между F и B.
• E (от equatorial) – между U и D.

Вращение граней описываются буквами, называющими грани, и дополнительными значками.

• Апостроф «’» указывает на то, что грань или слой поворачиваются против часовой стрелки.
• Цифрой 2 обозначается повтор движения.

Возможные действия с гранью, например, с правой:

• R – вращение по часовой стрелке;
• R’ – вращение против часовой стрелки.
• R2 – двойной поворот, неважно в какую сторону, так как у грани всего четыре возможных положения.

Чтобы определить, в какую сторону поворачивать грань, нужно представить на ней циферблат часов и руководствоваться движением воображаемой стрелки.

Вращение противоположных граней «по часовой стрелке» получается встречным.

Движения средних слоев привязаны к внешним граням:

• Слой M вращается в тех же направлениях, что и L.
• Слой S – как F.
• Слой E – как D.

Еще одно важное обозначение «w» - одновременный поворот двух примыкающих слоев. Например, Rw – одновременное вращение R и M.

Повороты всего кубика целиком называются перехватами. Они выполняются в трех плоскостях, то есть по трем осям координат: X, Y, Z.

• x и x’ – повороты по оси X всего кубика. Движения совпадают с поворотами правой грани.
• y и y’ – повороты кубика по оси Y. Движения совпадают с вращениями верхней грани.
• z и z’ – вращение кубика по оси Z. Движение совпадает с вращением фронтальной грани.
• х2, y2, z2 – обозначения двойных перехватов по указанной оси.

Кроме общепринятых обозначений, руководства по сборке пестрят сленгом, популярными в среде спидкуберов названиями техник, приемов, алгоритмов, узоров и фигур на кубике и так далее. Не менее востребованы схематические описания алгоритмов, в которых используются только стрелки. Чем больше накапливается опыта в решении головоломки, тем проще понимать описания и объяснения, многие вещи начинают восприниматься интуитивно.

• Шапка – собранные на одной стороне кубика цветные элементы. Сборка головоломки – то же самое, что сборка всех шести шапок.
• Пояс – смежные с шапкой цветные элементы. Шапка может быть собрана так, что пояс состоит из разрозненных цветных фрагментов, то есть угловые и реберные элементы стоят не на своих местах.
• Крест – фигура на шапке из пяти фрагментов одного цвета. Сборку часто начинают с построения креста. Здесь нет четкого руководства. Этот шаг позволяет наибольшую свободу действий и требует определенных размышлений. Когда крест готов, остается следовать заученным алгоритмам.
• Флип – разворот угла или ребра на одном месте относительно центра, это действие требует применения специальных алгоритмов.

Схемы для начинающих помогут научиться и сберечь нервы, собирая безнадежно запутанный кубик, почувствовать логику движений и отработать простейшие алгоритмы.

Прежде чем совершить какое-то действие, необходимо осмотреть кубик. На состязаниях на «преинспекцию» отводится 15 секунд. За это время нужно найти элементы одного цвета, которые будут собираться в «шапку» на первом этапе. Традиционно начинают с белой стороны, то есть большинство руководств предполагает, что U – белая. «Мультиколорщики»-спидкуберы могут начать сборку с любой стороны, мысленно перестроив все готовые алгоритмы.

Кубик Рубика 2х2

«Мини куб» состоит из 8 угловых элементов. На первом этапе собирается один слой из четырех углов. На втором этапе – оставшиеся углы размещаются на своих местах, при этом они могут быть перевернуты, то есть цветные элементы будут находиться не на своих гранях. Останется развернуть их нужной стороной.

• Алгоритм «пиф-паф» позволяет перемещать угловой элемент и правильно его ориентировать. Если проделать эту последовательность действий шесть раз подряд, кубик придет в исходное положение. Таким образом, если кубик смешан, нужно применить его от 1 до 5 раз, чтобы установить элемент правильно. Запись алгоритма: RUR’U’.
• Когда один слой собран, надо повернуть кубик вторым слоем наверх. Двигая этот слой в любую сторону, установить один из углов на свое место. Далее применяется алгоритм, позволяющий поменять местами два соседних элемента – правый и левый угол передней грани. Последовательность действий следующая: URU’L’UR’U’LU.
• Когда все углы находятся на местах, их переворачивают (флипают) при помощи алгоритма «пиф-паф». На этом этапе важно не перехватывать кубик.

Как собрать кубик Рубика 3х3

1. Построить «белый крест», собрав 4 ребра с белыми наклейками вокруг белого центра.
2. Совместить цветные центры сторон R, L, U, D с подходящими ребрами «белого креста».
3. Поместить на свои места углы с белыми наклейками. При помощи алгоритма R’D’RD, повторенного до пяти раз, углы перевернутся в правильное положение.
4. Чтобы поместить на свои места ребра среднего слоя, надо перехватить кубик – у2. Выбрать ребро без желтой наклейки. Совместить его с центром, совпадающим по цвету с одной из сторон. Применяя формулы, сместить ребро в средний слой: Ребро опускается со смещением влево: U’L’ULUFU’F’. Ребро опускается со смещением вправо: URU’R’U’F’UF. Если элемент оказался на своем месте, но неправильно повернут, эти алгоритмы используются снова, чтобы переместить его в третий слой и установить заново.
5. Не перехватывая кубик, собрать желтый крест на шапке третьего слоя, повторяя алгоритм: FRUR’U’F’.
6. Совместить ребра последнего слоя с боковыми центрами правильно, как это делалось для первого креста. Два ребра легко встанут на свои места. Два другие придется поменять местами. Если они находятся друг против друга: RUR’URU2R’. Если на соседних сторонах: RUR’URU2R’U.
7. Расставить на правильные позиции углы последней грани. Если ни один из них не находится в положенном месте, применить формулу URU’L’UR’U’L. Один из элементов встанет правильно. Перехватить кубик этим углом к себе, он будет верхним правым на фронтальной грани. Перемещать остальные углы против часовой стрелки URU’L’UR’U’L или, наоборот, U’L’URU’LUR’. На этом этапе все собранные участки перестроятся, покажется, что что-то пошло не так. Важно следить, чтобы кубик не перевернулся и центр F не сместился относительно пользователя. Комбинацию ходов нужно повторять до 5 раз.
8. Возможно, угловые элементы потребуется развернуть, совместив цветные фрагменты с остальными гранями правильно. Чтобы развернуть (флипнуть) их, используется первая формула: R’D’RD. Важно не перехватывать кубик, чтобы F и U не менялись.

Кубик Рубика 4х4

Головоломки, имеющие больше трех элементов в ребре, предполагают гораздо большее количество комбинаций.

Особенно сложны «четные» варианты, так как в них нет жестко зафиксированного центра, который помогает ориентироваться в классической головоломке.

Для 4*4*4 возможны около 7,4*1045 позиции элементов. Поэтому его назвали «месть Рубика» или Мастер Кубик.

Дополнительные обозначения внутренних слоев:

• f – внутренний фронтальный;
• b – внутренний задний;
• r – внутренний правый;
• l – внутренний левый.

Варианты сборки: послойно, от углов или приведением к виду 3*3*3. Последний способ наиболее популярен. Сначала на каждой грани собирается по четыре центральных элемента. Потом подгоняются реберные пары и, наконец, выставляются углы.

• Собирая центральные элементы, надо помнить, какие цвета противопоставлены попарно. Алгоритм, чтобы менять местами элементы из средней четверки: (Rr) U (Rr)’ U (Rr) U2 (Rr)’ U2.
• При сборке ребер вращаются только внешние грани. Алгоритмы: (Ll)’ U’ R U (Ll); (Ll)’ U’ R2 U (Ll); (Ll)’ U’ R’ U (Ll); (Rr) U L U’ (Rr)’; (Rr) U L2 U’ (Rr)’; (Rr) U L’ U’ (Rr)’. В большинстве случаев ребра можно собрать интуитивно. Когда остается всего два реберных элемента: (Dd) R F’ U R’ F (Dd)’ – чтобы установить их рядом, U F’ L F’ L’ F U’ – чтобы поменять местами.
• Далее применяются формулы кубика 3*3*3 для перестановки и вращения углов.

Сложные случаи, которые требуют особенного решения, – паритеты. Их формулы не решают задачу, а выбивают элементы из тупиковой ситуации, приводя головоломку в вид, решаемый стандартными алгоритмами.

• Два соседних реберных элемента в неправильной ориентации: r2 B2 U2 l U2 r’ U2 r U2 F2 r F2 l’ B2 r2.
• Противопоставленные пары реберных элементов в неправильной ориентации: r2 U2 r2 (Uu)2 r2 u2.
• Пары реберных элементов, стоящих углом друг к другу, в неправильной ориентации: F’ U’ F r2 U2 r2 (Uu)2 r2 u2 F’ U F.
• Углы последнего слоя не на своем месте: r2 U2 r2 (Uu)2 r2 u2.

Быстрая сборка головоломки 5х5

Сборка заключается в приведении к классическому виду. Сначала собирается 9 центральных фрагментов на каждой шапке и по три реберных элемента. Последний этап – расстановка углов.

Дополнительные обозначения:

• u – внутренняя верхняя грань;
• d – внутренняя нижняя грань;
• e – внутренняя грань между верней и нижней;
• (две грани в скобках) – одновременный поворот.

Сборка центральных элементов проще, чем в предыдущем случае, так как есть жестко закрепленные цветовые пары.

• На первом этапе сложности могут возникнуть, если нужно поменять местами элементы на соседних гранях. Если они разделены одним реберным элементом: (Rr) U (Rr)’ U (Rr) U2 (Rr)’. Если они находятся на внутренних центральных слоях: (Rr)’ F’ (Ll)’ (Rr) U (Rr) U’ (Ll) (Rr)’.
• Совмещение реберных элементов интуитивно понятно, оно не затрагивает собранные центры: (Ll)’ U L’ U’ (Ll); (Ll)’ U L2 U’ (Ll); (Rr) U’ R U (Rr)’; (Rr) U’ R2 U (Rr)’. Сложность представляет только сборка последних двух ребер.

Формулы для паритетов:

• поменять местами элементы в слоях u и d на ребрах одной грани: (Dd) R F’ U R’ F (Dd)’;
• поменять местами реберные элементы, расположенные в среднем слое на одной грани: (Uu)2 (Rr)2 F2 u2 F2 (Rr)2 (Uu)2;
• развернуть эти элементы на своих местах, то есть флипнуть: e R F’ U R’ F e’;
• развернуть на месте реберный элемент среднего слоя: (Rr)2 B2 U2 (Ll) U2 (Rr)’ U2 (Rr) U2 F2 (Rr) F2 (Ll)’ B2 (Rr)2;
• поменять местами элементы в боковом слое на одной грани: (Ll)’ U2 (Ll)’ U2 F2 (Ll)’ F2 (Rr) U2 (Rr)’ U2 (Ll)2;
• флипнуть одновременно три реберных элемента на своем месте: F’ L’ F U’ или U F’ L.

Последняя задача – расстановка углов по принципу классического куба.

Самый быстрый способ. Метод Джессики Фридрих

Те, кто уже научился решать головоломку за 1 – 2 минуты, то есть может действительно быстро собрать кубик Рубика, подходят к принципиально новому пониманию задачи. Механическое ускорение на определенном этапе становится невозможным. Необходимы специальные алгоритмы и техники, чтобы уменьшить время поиска решений.

Послойная сборка классического варианта для ускорения процесса сводится к четырем задачам:

• начальный крест на одной шапке;
• одновременная сборка первого и второго слоев;
• последняя шапка;
• пояс третьего слоя.

Сложность в том, что приходится выучить и все время держать в голове 119 формул, составленных автором метода, Джессикой Фридрих. Группы алгоритмов F2L, OLL, PLL для каждого этапа описывают все возможные комбинации расположения элементов, развороты и перестановки, необходимые для работы с парами ребро-угол.

Метод позволяет решить головоломку меньше чем за 20 секунд.

Как собрать кубик Рубика с закрытыми глазами

Разработаны специальные приемы для облегчения этой задачи. Один из популярных в среде спидкуберов метод old Pochmann.

Сборка производится не послойно, а по группам элементов: сначала все ребра, потом углы.

Ребро RU – буферное. Применяя специальные алгоритмы, кубик, занимающий эту позицию, перемещают на свое место. Элемент, заменивший его в позиции RU, опять перемещают и так далее, пока все ребра не окажутся на своих местах. То же самое проделывают с углами. Особенность алгоритмов для сборки вслепую в том, что они позволяют переместить элемент, не перемешивая остальные.

В процессе слепой сборки куб не переворачивают, чтобы не запутаться.

Прежде чем приступить к сборке, кубик «запоминают». Мысленно создается цепочка, по которой элементы будут перемещаться. Каждой наклейке присваивается своя буква алфавита. Для ребер и для углов спидкубер составляет отдельные азбуки. Перемешанный кубик Рубика запоминают как последовательность букв. Верхняя наклейка на буферном кубике – первая буква, наклейка, которая занимает ее законное место – вторая и так далее. Для простоты, из последовательности букв составляют слова, а из слов – предложения.

Кому принадлежит рекорд по самой быстрой сборке кубика Рубика

Австралиец Феликс Земдегс дважды обновил мировой рекорд по сборке классического кубика Рубика в 2018 г. В начале года зафиксировано лучшее время 4,6 секунды, в мае головоломка решена за 4, 22 секунды.

22-летнему спортсмену принадлежит еще несколько действующих рекордов 2015 – 2017:

• 4x4x4 – 19.36 секунд;
• 5x5x5 – 38.52 секунд;
• 6x6x6 – 1:20.03 минут;
• 7x7x7 – 2:06.73 минут;
• мегаминкс – 34.60 секунд;
• одной рукой – 6.88 секунд.

Рекорд робота, зафиксированный в Книге рекордов Гиннесса, – 0,637 секунды. Уже существует действующая модель, способная собрать кубик за 0.38 секунды. Ее разработчики – американцы Бен Кац и Джаред Ди Карло.

"Мы вращаем кубик, а кубик скручивает нас" - так сказал изобретатель этой головоломки Эрнё Рубик. Этот кубик скручивает наши мозги своим нежеланием собираться за считанные секунды. Мы достаем его, где это можно и "не можно" ... Мы злимся, нервничаем, досадливо прокручиваем его раз, другой...

Широко распространенная ныне механическая головоломка "Кубик-рубик" называлась сначала "волшебным" или "магическим кубиком", а в Китае его и сейчас называют "венгерским кубиком".

Кубик Рубика был изобретен и запатентован в 70-х годах 20 века венгерским скульптором, профессором архитектуры и изобретателем Эрнё Рубиком, который приобрел всемирную известность благодаря своим игрушкам-головоломкам.

Эрно Рубик преподавал промышленный дизайн и архитектуру, увлекался трёхмерным предметным моделированием. Пытаясь объяснить студентам основные понятия, придумал наглядное пособие, которое вначале выглядело несколько иначе. Идея и воплощения претерпевали изменения, а в результате мир получил оригинальную игру "кубик–рубик"

Похожие головоломки, кстати, были известны еще до появления кубика Рубика. В 1958 году похожее по замыслу изобретение запатентовал Вильям Густафсон, а в начале 70-х - свои изобретения предъявили англичанин Фрэнк Фок и американец Лари Николс.
Эрнё Рубик смог запатентовать свое изобретение лишь в начале 1975 года, а его авторские права были подтверждены в 1977 году.

Игра в кубик Рубика захватила всех от мала до велика.
Подсчитано, что по всему миру было продано около 350 млн кубиков Рубика, и если их поставить в ряд, то они протянутся почти от Северного до Южного полюса Земли.

Традиционный кубик-рубик (3х3х3, т.е. с длиной стороны квадрата в 3 маленьких кубика) состоит из 26 маленьких кубиков, которые могут вращаться вокруг невидимых снаружи осей. Каждый из девяти квадратов на каждой стороне кубика окрашен в один из шести цветов, как правило расположенных парами друг напротив друга: белый-жёлтый, синий-зелёный, красный-оранжевый. Повороты сторон кубика позволяют менять местами цветные квадраты.

А в чем суть игры?
Изначально цветовые квадратики "перепутаны". Необходимо, поворачивая стороны куба, привести его в такое состояние, когда каждая грань состоит из квадратов одного цвета. Это и означает "собрать кубик Рубика".
Но совсем не обязательно складывать одноцветные грани, можно заниматься выстраиванием на них геометрических узоров: "крестов", "окошек" и др..

Сборка кубика Рубика - задача не из самых легких!
Подсчитано, что число возможных цветовых комбинаций внешних сторон кубика Рубика составляет 43 252 003 274 489 856 000.
Для простой игрушки кубик Рубика слишком сложен.
В 80-х годах прошлого века этот кубик называли даже "Гордиевым узлом".
К сожалению, большинство владельцев игрушки так никогда и не смогло самостоятельно сложить кубик.

Английский профессор Д. Сингмайстер считает, что человек, не знающий правил сборки кубика, но умеющий логически мыслить, может собрать кубик Рубика за две недели, если, конечно, не будет прохлаждаться.
А вот программисты с помощью специальной компьютерной программы доказали, что из любой начальной конфигурации кубик можно собрать за 25 ходов.

В 1981 году была издана книга 12-летнего П. Боссерта "You can do The Cube" о правилах сборки кубика-рубика, ставшая бестселлером. Было распродано более полутора миллионов экземпляров на разных языках. А в 1990 году в России вышла книга, описывающая алгоритм сборки сколько угодно слойного кубика-рубика.

В годы повального увлечения кубиком Бубика эта забава стала частой причиной психических расстройств. Невозможность справиться с решением этой головоломки приводила к неврозам и приступам агрессии.
Известен случай, когда дрессированным обезьянам дали эти кубики и показали, что с ними надо делать. Через какое-то время обезъяны, в отчаянии от невозможности повторить показанное, стали проявлять раздражение. В результате одна из обезьян запустила этим кубиком в стену, другая попыталась его съесть, а третья просто разломала его.
Теперь понятно, почему некоторые фирмы продавали кубик Рубика в комплекте с молотком. После бесплодных попыток собрать кубик Рубика некоторым неуравновешенным игрокам хотелось "рвать и метать...", "рвать и метать..."

Устройство кубика-рубика
Кубик Рубика состоит из 26 маленьких кубиков и креста, скрытого внутри него.
Основа куба - крест, к тонким осям которого прикреплены на винтах 6 центральных кубиков.
26 кубиков назвать кубиками можно лишь условно, все они имеют разные выемки и шипы.
Шесть центральных кубиков находятся в центре граней большого куба. Они окрашены только с одной стороны, с которой видны. Все центральные кубики связаны между собой тремя осями, и каждая пара противоположных центральных кубиков может вращаться только вокруг одной своей оси.
Восемь маленьких угловых кубиков находятся на углах большого куба и окрашены с трех сторон. Остальные двенадцать маленьких «бортовых» кубиков расположены на середине ребер большого куба, их тоже достаточно окрасить только с двух видимых сторон.

С внутренних сторон центральные, средние и угловые кубики имеют различные вырезы.

Центральные кубики крепятся на внутреннем кресте. Пружинка, одетая на тонкий конец креста, позволяет оттягивать при повороте поворачиваемый слой кубиков.

Так выглядит внутренняя сторона грани куба, снятой с креста.

Вид кубика, с которого сняты одна грань и один средний кубик.

Расположение маленьких кубиков основаны на строгом порядке. Как ни верти, угловые кубики всегда останутся угловыми, бортовые - бортовыми, а центральные - центральными. Это иногда называют «основной теоремой кубологии».
Центральные кубики вообще невозможно сдвинуть с места, поэтому они определяют исходный цвет соответствующей грани. Если на данной стороне центральный кубик красный, значит, это будущая красная грань. Именно она будет красной, когда вы правидьно составите кубик.

А знаете как просто, оказывается, разбирается кубик Рубика?
Надо отклеить цветную наклейку с какого-нибудь центрального кубика и, подцепив чем-нибудь острым находящуюся под ней плоскую крышечку, снять её. Отвинчиваем гаечку, вынимаем пружинку, снимаем центральный кубик с креста, а дальше уже просто...

Помимо классического трехслойного кубика (3х3х3) выпускаются упрощенные варианты с длиной стороны в 2 маленьких кубика, а также более сложные (4х4х4) и (5х5х5).
Интересно, что куб со стороной 4х4 часто называют мастер-кубом или «местью Рубика».
Инженерам-конструкторам долгое время не удавалось создать шестислойный вариант. Эту задачу смог решить советский изобретатель Борис Бочаров. Не зная об изобретении Бочарова, своим методом решил и выпустил первые шестислойные в 2005 году грек Панайотис Вердес.

В 1972 году немец Уве Мефферт придумал похожую по смыслу игрушку - тетраэдр. в России такая игрушка была известна под именем "молдавская пирамидка" и была изобретена независимо от Мефферта в 1981 году инженером А.А.Ордынцем из Кишинева.

Встречаются и такие модификации кубика-рубика. Идея та же, исполнение - в виде шара. Головоломка по принципу действия аналогичная кубику Рубика. При сборке необходимо выставить одноцветные сектора. Это осуществляется врашением 3-х поясов, при этом угловые треугольники закреплены неподвижно.

Двойной мезон Кубика Рубика 2х2х2 - головоломка-гибрид изготовлена из двух кубиков Рубика. Головоломка считается собранной, когда каждая грань будет иметь свой цвет.

Змейка - ещё одна головоломка Рубика, сделана из 24 одинаковых равнобедренных треугольных призм, соедененных между собой с помощью шарниров. Треугольники можно вращать между собой таким образом, что в зависимости от Вашей фантазии фигурки будут напоминать каких-либо животных или другие фигуры.

Судокубик - это гибрид Кубика Рубика и игры судоку. На гранях нарисованы цифры, и нужно сложить кубик так, чтобы суммы чисел на них были равны.

Иногда можно встретить кубики с изображениями на гранях. Тогда сборка такого кубика очень похожа на детскую игру с кубиками "Собери картинку". Только вот не все взрослые могут ее собрать!

Ежегодно в Будапеште проводится чемпионат Мира по сборке кубика-рубика Национальные и международные соревнования проводятся по специальным правилам. Для определения времени сборки каждый участник должен собрать кубик 5 раз. Самый лучший и самый худший результат отбрасывается, а из оставшихся вычисляется среднее арифметическое. Это и есть засчитываемое время сборки. Время измеряется с точностью до сотых долей секунды по специальным таймерам.
Нынешний рекорд скоростной сборки кубика был установлен на соревнованиях 2008 года голландцем Эриком Аккерсдейком: 7.08 секунд.

Недавно знаменитый профессор Эрно Рубик создал новую головоломку - шар Рубика(иначе сфера Рубика или Рубик 360 ). Он работал над ним три года.

Головоломка представляет собой три прозрачные сферы, вращающиеся на осях и находящиеся одна в другой. Внутри центральной сферы перекатываются 6 цветных шариков. Цель игры состоит в том, чтобы через отверстия в сферах довести каждый шар до гнезда с соответствующим цветом, расположенного на внешней сфере.И хотя задача кажется простой, добиться её решения очень трудно, даже если у вас ловкие руки и большая сообразительность. В игру вступает гравитация!

После изобретения знаменитого кубика Эрнё Рубик стал богатейшим человеком Венгрии и занялся изобретением других объёмных головоломок, а также придумал настольную игру "Бесконечность"

В начале 80-х Эрнё Рубик стал редактором журнала игр и головоломок, в 1983 году основал собственную студию Rubik Studio , которая занималась разработкой головоломок. В 1987 году получил звание профессора. В 1990 основал венгерскую техническую академию и был её президентом до. В 1988 году основал международный фонд Рубика для поддержки талантливых изобретателей.

В Венгрии в 2002 году была выпущена памятная монета квадратной формы. На монете проставлен год - 1975 (в этом году был получен патент на кубик Рубика) и изображен знаменитый кубик.

В настоящее время Эрнё Рубик участвует в разработке видеоигр и возглавляет студию Рубика. Принят в члены самого престижного в мире Нидерландского общества головоломщиков под номером 0.

Как собрать Кубик Рубика

В двух словах: если запомнить 7 простых формул длиной не более 8 вращений каждая, то можно спокойно научиться собирать обычный кубик 3х3х3 за пару минут. Быстрее, чем за минуту-полторы, этим алгоритмом собрать кубик не получится, но две-три минуты – легко!

Введение

Как и у любого куба, у головоломки 8 углов, 12 рёбер и 6 граней: верхняя, нижняя, правая, левая, передняя и задняя. Обычно каждый из девяти квадратов на каждой грани Кубика окрашен в один из шести цветов, как правило, расположенных парами друг напротив друга: белый-жёлтый, синий-зелёный, красный-оранжевый, образуя 54 цветных квадрата. Иногда вместо сплошных цветов на грани Кубика наносят , тогда его становится ещё сложнее собрать.

В собранном («исходном») состоянии каждая грань состоит из квадратов одного цвета, либо все картинки на гранях правильно сложены. После нескольких поворотов Кубик «размешивается».

Собрать Кубик - это вернуть его из размешанного в исходное состояние. В этом, собственно, и заключается основной смысл головоломки. Многие энтузиасты находят удовольствие в сборке "пасьянсов" - узоров .

Азбука Кубика

Классический Кубик состоит из 27-ти частей (3х3х3=27):

6 одноцветных центральных элементов (6 «центров»)

12 двухцветных бортовых или рёберных элементов (12 «рёбер»)

8 трёхцветных угловых элементов (8 «углов»)

1 внутренний элемент - крестовина

Крестовина (или шар, в зависимости от конструкции) находится в центре Кубика. К ней крепятся центры и тем самым скрепляют остальные 20 элементов, не давая головоломке развалиться.

Вращаться элементы могут «слоями» - группами по 9 штук. Поворот внешнего слоя по часовой стрелке на 90° (если смотреть на этот слой) считаем «прямым» и будем обозначать большой буквой, а поворот против часовой стрелки - «обратным» прямому - и будем обозначать большой буквой с апострофом «"».

6 внешних слоёв: Верх, Низ, Право, Лево, Фронт (передний слой), Тыл (задний слой). Есть ещё три внутренних слоя. В этом алгоритме сборки мы их отдельно вращать не будем, будем использовать только вращения внешних слоёв. В мире спидкуберов принято делать обозначения латинскими буквами от слов Up, Down, Right, Left, Front, Back.

Обозначения поворотов:

по часовой стрелке (↷ )- В Н П Л Ф Т ⇔U D R L F B

против часовой стрелки (↶ ) - В" Н" П" Л" Ф" Т" ⇔U" D" R" L" F" B"

При сборке Кубика мы будем последовательно совершать повороты слоёв. Последовательность поворотов записывается слева направо друг за другом. Если какой-то поворот слоя нужно повторить два раза, то после него ставится значок степени « 2 ». Например, Ф 2 означает, что надо два раза повернуть фронт, т.е. Ф 2 = ФФ или Ф"Ф" (как удобнее). При латинской нотации вместо Ф 2 пишется F2. Формулы я буду писать в двух нотациях - кирилической и латинской , разделяя их вот таким знаком ⇔.

Для удобства чтения длинных последовательностей их разбивают на группы, которые отделяются от соседних групп точками. Если требуется какую-то последовательность поворотов повторить, то её заключают в круглые скобки и справа вверху закрывающей скобки пишут количество повторов. В латинской нотации вместо показателя степени используют коэффициент-множитель. В квадратных скобках я буду указывать номер такой последовательности или, как их обычно называют, «формулы».

Теперь, зная условный язык обозначений вращений слоёв Кубика, можно приступать непосредственно к процессу сборки.

Сборка

Существует много способов сборки Кубика. Есть такие, которые позволяют парой-тройкой формул собрать кубик, но за несколько часов. Другие - наоборот, при помощи запоминания пары сотен формул позволяют собрать кубик за десяток секунд.

Ниже я опишу наиболее простой (с моей точки зрения) способ, который нагляден, прост в понимании, требует запоминания всего семи простых «формул» и при этом позволяет собрать Кубик за пару минут. Когда мне было 7 лет, я освоил такой алгоритм за неделю и собирал кубик в среднем за 1,5-2 минуты, чем поражал своих друзей и одноклассников. Поэтому я и называю такой способ сборки «простейшим». Постараюсь объяснить всё «на пальцах», почти без картинок.

Собирать Кубик будем горизонтальными слоями, сначала первый слой, потом второй, затем третий. Процесс сборки разобьём на несколько этапов. Всего их будет пять и один дополнительный.

6/26 В самом начале кубик разобран (но центры всегда на местах).

Этапы сборки:

10/26 - крест первого слоя («верхний крест»)

14/26 - углы первого слоя

16/26 - второй слой

22/26 - крест третьего слоя («нижний крест»)

26/26 - углы третьего слоя

26/26 - (дополнительный этап) вращение центров

Для сборки классического Кубика понадобятся следующие «формулы» :

ФВ"ПВ ⇔FU"RU - поворот ребра верхнего креста

(П"Н" · ПН) 1-5 ⇔(R"D · RD)1-5 - «Z-коммутатор»

ВП · В"П" · В"Ф" · ВФ ⇔UR · U"R" · U"F" · UF - ребро 2 слоя вниз и вправо

В"Л" · ВЛ · ВФ · В"Ф" ⇔U"L" · UL · UF · U"F" - ребро 2 слоя вниз и влево

ФПВ · П"В"Ф" ⇔FRU · R"U"F" - поворот рёбер нижнего креста

ПВ · П"В · ПВ" 2 · П"В ⇔RU · R"U · RU"2 · R"U - перестановка рёбер нижнего креста («рыбка»)

В"П" · ВЛ · В"П · ВЛ" ⇔U"R" · UL · U"R · UL" - перестановка углов 3 слоя

Первые два этапа можно было бы и не описывать, т.к. собрать первый слой довольно легко «интуитивно». Но, тем не менее, постараюсь описать всё досконально и на пальцах.

1 этап - крест первого слоя («верхний крест»)

Цель данного этапа: правильное расположение 4-х верхних рёбер, составляющих вместе с верхним центром «крест».

Итак, Кубик полностью разобран. На самом деле не полностью. Отличительной особенностью классического Кубика является его конструкция. Внутри расположена крестовина (или шар), которая жёстко соединяет центры. Центр определяет цвет всей грани Кубика. Поэтому 6 центров всегда уже стоят на своих местах! Для начала выбираем верх. Обычно сборку начинают с белого верха и зелёного фронта. При нестандартной окраске выбирайте как удобнее. Держим Кубик так, чтобы верхний центр («верх») был белого цвета, а передний центр («фронт») - зелёного. Главное при сборке - это помнить, какого цвета у нас верх, а какого фронт, и при вращении слоёв случайно не повернуть весь Кубик и не сбиться.

Наша цель - найти ребро с цветами верха и фронта и установить его между ними. В самом начале ищем бело-зелёное ребро и ставим его между белым верхом и зелёным фронтом. Назовём искомый элемент «рабочим кубиком» или РК.

Итак, приступаем к сборке. Верх белый, фронт зелёный. Оглядываем Кубик со всех сторон, не отпуская его, не перебирая в руках и не вращая слоёв. Ищем РК. Он может располагаться в любом месте. Нашли. После этого, собственно, и начинается сам процесс сборки.

Если РК в первом (верхнем) слое, то двойным поворотом внешнего вертикального слоя, на котором он находится, «выгоняем» его вниз на третий слой. Аналогично поступаем, если РК находится во втором слое, только в этом случае выгоняем его вниз не двойным, а одинарным вращением.

Выгонять желательно так, чтобы РК оказался цветом верха вниз, тогда его будет проще установить на место. Выгоняя РК вниз, нужно помнить об уже стоящих на месте рёбрах, и если какое-то ребро было затронуто, то надо не забыть вернуть его потом на место обратным вращением.

После того, как РК оказался на третьем слое, вращаем низ и «подгоняем» РК под центр фронта. Если РК уже на третьем слое, то просто ставим его перед собой снизу, вращая нижний слой. После этого поворотом Ф 2 ⇔F2 ставим РК на место.

После того как РК оказался на месте, может быть два варианта: либо он правильно повёрнут, либо нет. Если он повёрнут правильно, то всё ОК. Если повёрнут неправильно, то переворачиваем его формулой ФВ"ПВ ⇔FU"RU . Если РК «выгонять» правильно, т.е. цветом верха вниз, то эту формулу применять практически не придётся.

Переходим к установке следующего ребра. Не меняя верха, меняем фронт, т.е. поворачиваем Кубик к себе новой стороной. И вновь повторяем наш алгоритм до тех пор, пока все оставшиеся рёбра первого слоя не окажутся на месте, образуя на верхней грани белый крест.

В процессе сборки может оказаться так, что РК уже стоит на месте или его можно поставить на место (не разрушая уже собранного) не выгоняя сначала вниз, а «сразу». Ну и хорошо! Крест в таком случае соберётся быстрее!

Итак, уже 10 элементов из 26 стоят на месте: 6 центров на месте всегда и 4 ребра мы только что поставили.

2 этап - углы первого слоя

Цель второго этапа - собрать весь верхний слой, установив дополнительно к уже собранному кресту четыре угла. В случае креста мы искали нужное ребро и ставили его спереди вверху. Теперь же наш РК - это не ребро, а угол, и ставить мы его будем спереди вверху справа. Для этого будем поступать так же, как на первом этапе: сначала найдём его, затем «выгоним» его на нижний слой, затем поставим спереди внизу справа, т.е. под нужным нам местом, а после этого загоним наверх.

Есть одна прекрасная и простая формула. (П"Н" · ПН) ⇔(R"D" · RD) . У неё даже есть «умное» название - . Её надо запомнить.

Ищем элемент, с которым будем работать (РК). В правый верхний ближний угол должен встать угол, имеющий такие же цвета, как и центры верха, фронта и права. Находим его. Если РК уже на месте и правильно повёрнут, то поворотом всего Кубика меняем фронт, и ищем новый РК.

Если РК находится в третьем слое, то вращаем низ и подгоняем РК под нужное нам место, т.е. спереди внизу справа.

Крутим Z-коммутатор! Если угол не встал на место, либо встал, но неправильно повёрнут, то крутим Z коммутатор ещё раз, и так до тех пор, пока РК не окажется вверху на месте и правильно повёрнутый. Иногда нужно крутить Z-коммутатор до 5-ти раз.

Если же РК находится в верхнем слое и не на месте, то выгоняем его оттуда любым другим при помощи того же Z-коммутатора. ТО есть сначала поворачиваем Кубик так, чтобы верх оставлася белым, а РК, который надо выгнать, находился справа вверху перед нами и крутим Z-коммутатор. После того как РК «выгнан», вновь поворачиваем к себе Кубик нужным фронтом, вращаем низ, ставим уже выгнанный РК под нужным нам местом и Z-коммутатором загоняем его наверх. Крутим Z-коммутатор, пока кубик не ориентируется как надо.

Применяем этот алгоритм для оставшихся углов. В результате получим полностью собранный первый слой Кубика! 14 из 26 кубиков стоят на месте!

Некоторое время полюбуемся на эту красоту и перевернём Кубик так, чтобы собранный слой оказался внизу. Зачем это надо? Нам скоро будет нужно приступать к сборке второго и третьего слоёв, а первый слой уже собран и мешается сверху, закрывая собой все интересующие нас слои. Поэтому и перевернём их вверх, чтобы лучше видеть всё оставшееся и несобранное безобразие. Верх и низ поменялись местами, право и лево тоже, а вот фронт с тылом остались те же. Верх теперь жёлтый. Приступаем к сборке второго слоя.

Хочу предупредить, с каждым шагом Кубик приобретает более собранный вид, но когда крутишь формулы, то уже собранные стороны размешиваются. Главное - не паниковать! По окончании формулы (или последовательности формул) Кубик снова соберётся. Если, конечно, соблюдать главное правило - в процессе вращения нельзя крутить весь Кубик, чтобы случайно не сбиться. Только отдельные слои, как написано в формуле.

3 этап - второй слой

Итак, первый слой собран, и он внизу. Нам нужно поставить 4 ребра 2-го слоя. Они сейчас могут находиться как на втором, так и на третьем (теперь уже верхнем) слое.

Выбираем на верхнем слое любое ребро без цвета верхней грани (без жёлтого). Теперь оно будет нашим РК. Вращая верх, подгоняем РК так, чтобы он совпал по цвету с каким-нибудь боковым центром. Поворачиваем Кубик так, чтобы этот центр стал фронтом.

Теперь есть два варианта: наш рабочий кубик нужно переместить вниз на второй слой либо налево, либо направо.

Для этого есть две формулы:

вниз и вправо ВП · В"П" · В"Ф" · ВФ ⇔UR · U"R" · U"F" · UF

вниз и влево В"Л" · ВЛ · ВФ · В"Ф" ⇔U"L" · UL · UF · U"F"

Если вдруг РК уже оказался во втором слое не на своём месте, либо на своём, но неправильно повёрнутый, то «выгоняем» его любым другим, используя одну из этих формул, а затем снова применяем этот алгоритм.

Будьте внимательны. Формулы длинные, ошибаться нельзя, иначе Кубик «разберётся» и придётся начинать сборку заново. Ничего страшного, даже чемпионы иногда сбиваются при сборке.

Итого в результате после этого этапа имеем два собранных слоя - 19 из 26 кубиков стоят на местах!

(Если хочется немного оптимизировать сборку первых двух слоёв, можно использовать вот .)

4 этап - крест третьего слоя («нижний крест»)

Цель этого этапа - собрать крест последнего несобранного слоя. Хотя несобранный слой сейчас наверху, крест называют «нижним», потому что в исходном состоянии этот слой находился внизу.

Вначале мы будем разворачивать рёбра так, чтобы они все стали обращены вверх цветом, совпадающим с цветом верха. Если они уже все повёрнуты вверх так, что вверху получился одноцветный плоский крест, переходим к перемещению рёбер. Если же кубики повёрнуты неправильно, будем их переворачивать. Может быть несколько случаев ориентации рёбер:

А) все неправильно повёрнуты

Б) два соседних неправильно повёрнуты

В) два противоположных неправильно повёрнуты

(Других вариантов быть не может! т.е. не может быть так, чтобы осталось перевернуть только одно ребро. Если два слоя кубика собраны, а на третьем осталось перевернуть нечётное число рёбер, то можно дальше не париться, а .)

Запоминаем новую формулу: ФПВ · П"В"Ф" ⇔FRU · R"U"F"

В случае А) крутим формулу и получаем случай Б).

В случае Б) поворачиваем Кубик так, чтобы два правильно повёрнутых ребра были слева и сзади, крутим формулу и получаем случай В).

В случае В) поворачиваем Кубик так, чтобы правильно повёрнутые ребра стояли справа и слева, и, опять же, крутим формулу .

В результате получаем «плоский» крест из правильно ориентированных, но стоящих не на своих местах рёбер. Теперь нужно из плоского креста сделать правильный объёмный, т.е. переместить рёбра.

Запоминаем новую формулу: ПВ · П"В · ПВ" 2 · П"В ⇔RU · R"U · RU"2 · R"U («рыбка»).

Крутим верхний слой так, чтобы хотя бы два ребра встали на свои места (цвета их боковушек совпали с центрами боковых граней). Если все встали на свои места, то крест собран, переходим к следующему этапу. Если не все на месте, то может быть два случая: либо два соседних на месте, либо два противоположных на месте. Если на месте противоположные, то крутим формулу и получаем на месте соседние. Если на месте соседние, то поворачиваем Кубик так, чтобы они были справа и сзади. Крутим формулу . После этого рёбра, которые были не на месте, поменяются местами. Крест собран!

NB: небольшое замечание насчёт «рыбки». В этой формуле используется вращение В" 2 ⇔U"2 , то есть верх вращаем против часовой стрелки два раза. В принципе, для Кубика Рубика В" 2 ⇔U"2 = В 2 ⇔U2 , но лучше запомнить именно В" 2 ⇔U"2 , потому что эта формула может пригодиться для сборки, например, мегаминкса. А вот в мегаминксе В" 2 ⇔U"2 ≠ В 2 ⇔U2 , так как один поворот там не на 90°, а на 72°, и В" 2 ⇔U"2 = В 3 ⇔U3 .

5 этап - углы третьего слоя

Осталось установить на места, а потом правильно повернуть четыре угла.

Запоминаем формулу: В"П" · ВЛ · В"П · ВЛ" ⇔U"R" · UL · U"R · UL" .

Смотрим на углы. Если они все на месте и осталось только их правильно повернуть, то смотрим следующий абзац. Если ни один угол не стоит на месте, тогда крутим формулу , при этом один из углов точно встанет на место. Ищем угол, который стоит на месте. Поворачиваем Кубик так, чтобы этот угол стоял сзади справа. Крутим формулу . Если при этом кубики не встали на свои места, то крутим формулу ещё раз. После этого все углы должны стоять на своих местах, осталось их правильно повернуть, и Кубик будет почти собран!

На этом этапе остаётся либо три кубика повернуть по часовой, либо три против часовой, либо один по часовой и один против часовой, либо два по часовой и два против часовой. Других вариантов быть не может! Т.е. не может быть так, чтобы осталось перевернуть только один угловой кубик. Или два, но оба по часовой стрелке. Или два по часовой, а один против. Правильные комбинации: (- - -), (+ + +), (+ -), (+ - + -), (+ + - -) . Если два слоя собраны правильно, на третьем слое собран правильный крест и получилась неправильная комбинация, то опять же можно дальше не париться, а идти за отвёрткой (читайте ). Если же всё верно, читаем дальше.

Вспоминаем наш Z-коммутатор (П"Н" · ПН) ⇔R"D" · RD . Поворачиваем Кубик так, чтобы неправильно ориентированный угол был спереди справа. Крутим Z-коммутатор (до 5-ти раз), пока угол не повернётся правильно. Далее, не меняя фронта, вращаем верхний слой так, чтобы спереди справа оказался очередной «неправильный» угол, и вновь вращаем Z-коммутатор. И так поступаем, пока не развернутся все углы. После этого повернём верхний слой так, чтобы цвета его граней совпали с уже собранными первым и вторым слоями. Всё! Если у нас был обычный шестицветный кубик, то он уже собран! Осталось повернуть Кубик исходным верхом (который сейчас снизу) вверх, чтобы получить исходное состояние.

Всё. Кубик собран!

Надеюсь, что это руководство Вам пригодится!

6 этап - Вращение центров

Почему кубик не собирается?!

Многие задают вопрос: «Я делаю всё, как написано в алгоритме, а кубик всё равно не собирается. Почему?» Обычно засада поджидает на последнем слое. Два слоя собираются легко, а вот третий - ну никак. Всё размешивается, начинаешь заново собирать, снова два слоя, и снова при сборке третьего всё размешивается. Почему так может быть?

Есть две причины - очевидная и не очень:

Очевидная . Вы не точно следуете алгоритмам. Достаточно сделать один поворот не в ту сторону или пропустить какой-то поворот, чтобы размешался весь Кубик. На начальных этапах (при сборке первого и второго слоёв) неправильный поворот не очень фатален, но при сборке третьего слоя малейшая ошибка приводит к полному размешиванию всех собранных слоёв. Но если точно следовать вышеописанному алгоритму сборки, то всё должно собраться. Формулы все проверены временем, ошибок в них нет.

Не очень очевидная . И скорее всего дело именно в этом. Китайские производители делают Кубики разного качества - от профессиональных чемпионских кубиков для скоростной сборки до разваливающихся в руках при первых же вращениях. Что обычно делают люди, если Кубик развалился? Да вставляют обратно вывалившиеся кубики, и не парятся о том, как они были ориентированы и на каком месте стояли. А так делать нельзя! Вернее, можно, но вот вероятность после этого собрать Кубик Рубика будет крайне мала.

Если Кубик развалился (или как говорят спидкуберы, «помпанул»), и его неправильно собрали, то при сборке третьего слоя скорее всего возникнут проблемы . Как решить эту проблему? Снова его развалить и собрать правильно!

На кубике с собранными двумя слоями нужно аккуратно плоской отвёрткой или ножом поддеть крышечку центрального кубика третьего слоя, снять её, маленькой крестовой отверткой открутить шуруп, не потерять при этом пружинку, надетую на шурупе. Аккуратно вытащить угловые и бортовые кубики третьего слоя и вставить их правильно цвет к цвету. В конце вставить и прикрутить открученный ранее центральный кубик (сильно не затягивайте). Покрутите третий слой. Если он крутится туго, ослабьте шуруп, если слишком легко - подтяните. Нужно, чтобы все грани крутились с одинаковым усилием. После этого закройте крышечкой центральный кубик. Всё.

Можно не откручивая, повернуть любую грань на 45°, поддеть пальцем, ножом или плоской отвёрткой один из бортовых кубиков и вытащить его. Только делать это надо аккуратно, потому что можно сломать крестовину. Затем по-очереди вытащить нужные кубики и вставить их обратно на свои места уже правильно ориентированными. После того, как всё будет собрано цвет к цвету, надо будет так же вставить (защёлкнуть) бортовой кубик, который в начале и вытаскивали (или какой-нибудь другой, но бортовой, т.к. угловой вставить точно не получится).

После этого Кубик можно перемешивать и спокойно собирать вышеприведённым алгоритмом. И вот теперь уж он точно соберётся! Без таких «варварских» процедур с ножом и отвёрткой, к сожалению, не обойтись, так как если после разваливания Кубик неправильно сложили, собрать его вращениями никак не получится.

PS: если не получается собрать даже два слоя, то вначале нужно убедиться, что хотя бы центры стоят на правильных местах. Возможно, кто-то крышечки центров переставил. В стандартной раскраске должно быть 6 цветов, белый напротив жёлтого, синий напротив зелёного, красный напротив оранжевого. Обычно верх белый, низ жёлтый, фронт оранжевый, тыл красный, справа зелёный, слева синий. Но абсолютно точно взаимное расположение цветов определяют по угловым кубикам. Например, можно найти угловой бело-сине-красный и увидеть, что цвета в нём расположены по часовой стрелке. Значит, если сверху белый, то справа должен быть синий, а спереди красный.

PPS: если же кто-то пошутил, и не просто переставил элементы кубика, а переклеил наклейки, то собрать Кубик вообще нереально, сколько его не разваливай. Никакая отвёртка тут уже не поможет. Надо вычислять, какие наклейки были переклеены, а затем переклеивать их на свои места.

А можно ещё проще?

Ну куда уж проще-то? Это один из самых простых алгоритмов. Главное - его понять. Если вы хотите взять первый раз в руки Кубик Рубика и сразу за пару минут научиться его собирать, то лучше отложите его в сторону и займитесь каким-нибудь менее интеллектуальным делом. Любое обучение, в том числе и простейшему алгоритму, требует времени и практики, а также мозгов и усидчивости. Как я говорил выше, этот алгоритм я освоил сам за неделю, когда мне было 7 лет, и я сидел на больничном с больным горлом.

Кому-то этот алгоритм может показаться сложным, потому что в нём много формул. Можете попробовать воспользоваться каким-нибудь другим алгоритмом. Например, можно собрать Кубик, реально используя одну единственную формулу, например тот же Z-коммутатор. Только собирать этим способом придётся долго-долго. Можно взять другую формулу, например, Ф·ПВ"П"В"·ПВП"Ф"· ПВП"В"·П"ФПФ", которая меняет местами попарно 2 бортовых и 2 угловых кубика. И используя простые подготовительные вращения, постепенно собирать кубик, установив на места сначала все бортовые кубики, а затем угловые.

Алгоритмов - огромная куча, но к каждому из них нужно подходить с должным вниманием, и каждый требует достаточно времени на освоение.