Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел был предложен Дж. Нейманом. Его называют методом середины квадратов.

Пусть задано 4-значное число R 0 =0.9876. Возведём его в квадрат. Получим 8-значное числоR 0 2 =0.97535376. Выберем 4 средние цифры из этого числа и положимR 1 =0.5353. Затем снова возведём в квадрат и извлечём из него 4 средние цифры. ПолучимR 2 и т.д. Этот алгоритм не оправдал себя. Получалось больше чем нужно малых значенийR i .

Однако, представляет интерес исследовать качество этого генератора со смещённой вправо группой выбора цифр у R i 2 :

где a-максимальная значность дроби для данной ЭВМ (например, а=8).

b-количество знаков после запятой в числеR i (например, 5).

INT(А)- целая часть числа.

Для a=8,b=5,R 0 =0.51111111 на ПКZX-Spectrumполучается около 1200 неповторяющихся чисел.

Задание: Исследование следует проводить при варьировании а,b,R 0 . Найти при каких величинахa,b,R 0 получается наибольшая длинаLпоследовательности неповторяющихся чисел при “хороших” стохастических параметрах. Установить влияет ли величинаR 0 на качество датчика. Если влияет, то определить область “приемлемых” значений параметраR 0 . Представить результаты тестирования оптимального варианта значенийa,b,R 0 .

Мультипликативные алгоритмы. Датчик №2: Линейный конгруэнтный генератор Лемера 1951.

где U i ,M,Cиp–целые числа.

AmodB- остаток от деления нацелоAнаB,

A mod B =A-B*INT (A/B)

Генерируемая последовательность имеет повторяющийся цикл не превышающий pчисел.

Максимальный период получается при C0, но такой генератор даёт плохие стохастические результаты .

При C=0 генераторы называют мультипликативными. Они имеют лучшие стохастические параметры. Формулы их использования называют ещё методом вычетов.

Наиболее популярным для получения псевдослучайных чисел является метод вычетов по такой формуле :

где U i ,M,p-целые числа, 0i <1, 1U i p-1.

Если выбрать U 0 иMтакими, чтобы дляR 0 =U 0 /pполучалась несократимая дробь и взятьpиMвзаимно простыми, тогда всеR i будут несократимыми дробями вида:R i =U i /p.

Получим наибольшую (но не более p) длину неповторяющейся последовательности чисел. ЗначенияU 0 ,pиMудобно выбрать из простых чисел.

Задание: Исследовать при какихU 0 ,pиMдлина последовательности неповторяющихся чисел будет не менее 10000 при «хороших» стохастических параметрах. Определить влияет ли величинаR 0 приMиp=constна статистические характеристики датчика. Если влияет, то определить область допустимых величинU 0 . Представить результаты тестирования генератора для оптимальных величинp,MиU 0 .

Датчик №3: Модификация Коробова .

где p- большое простое число, например 2027, 5087, …

М - целое число, отвечающее условиям:

n– целое число. Т.е. выбираемMблизким кp/2 из множества чиселM=p– 3 n .

Например, для p=5087 берёмn=7. Потому что 3 7 =2187, а 3 8 =6561 будет уже большеp. Итак: М=5087-2187=2900.

Получаем числа U i в интервале = и числаR i в интервале (0,1).

Задание: ПодобратьMиpпри которых получаются лучшие статистические параметры датчика и наибольшая длинаL. Выяснить влияет ли величинаR 0 на стохастические характеристики датчика и, если влияет, то определить область допустимых значенийR 0 . Представить результаты тестирования датчика для оптимальных значенийM,pиR 0 .

Детерминированные ГПСЧ

Никакой детерминированный алгоритм не может генерировать полностью случайные числа, он может только аппроксимировать некоторые свойства случайных чисел. Как сказал Джон фон Нейман , «всякий, кто питает слабость к арифметическим методам получения случайных чисел, грешен вне всяких сомнений ».

Любой ГПСЧ с ограниченными ресурсами рано или поздно зацикливается - начинает повторять одну и ту же последовательность чисел. Длина циклов ГПСЧ зависит от самого генератора и в среднем составляет около 2 n/2 , где n - размер внутреннего состояния в битах, хотя линейные конгруэнтные и LFSR -генераторы обладают максимальными циклами порядка 2 n . Если ГПСЧ может сходиться к слишком коротким циклам, такой ГПСЧ становится предсказуемым и является непригодным.

Большинство простых арифметических генераторов хотя и обладают большой скоростью, но страдают от многих серьёзных недостатков:

• Слишком короткий период/периоды.
• Последовательные значения не являются независимыми.
• Некоторые биты «менее случайны», чем другие.
• Неравномерное одномерное распределение.
• Обратимость.

В частности, алгоритм мейнфреймах, оказался очень плохим , что вызвало сомнения в достоверности результатов многих исследований, использовавших этот алгоритм.

ГПСЧ с источником энтропии или ГСЧ

Наравне с существующей необходимостью генерировать легко воспроизводимые последовательности случайных чисел, также существует необходимость генерировать совершенно непредсказуемые или попросту абсолютно случайные числа. Такие генераторы называются генераторами случайных чисел (ГСЧ - англ. random number generator, RNG ). Так как такие генераторы чаще всего применяются для генерации уникальных симметричных и асимметричных ключей для шифрования, они чаще всего строятся из комбинации криптостойкого ГПСЧ и внешнего источника энтропии (и именно такую комбинацию теперь и принято понимать под ГСЧ).

Почти все крупные производители микрочипов поставляют аппаратные ГСЧ с различными источниками энтропии, используя различные методы для их очистки от неизбежной предсказуемости. Однако на данный момент скорость сбора случайных чисел всеми существующими микрочипами (несколько тысяч бит в секунду) не соответствует быстродействию современных процессоров.

В персональных компьютерах авторы программных ГСЧ используют гораздо более быстрые источники энтропии, такие, как шум звуковой карты или счётчик тактов процессора . До появления возможности считывать значения счётчика тактов, сбор энтропии являлся наиболее уязвимым местом ГСЧ. Эта проблема до сих пор полностью не разрешена во многих устройствах (например, смарт-картах), которые таким образом остаются уязвимыми. Многие ГСЧ до сих пор используют традиционные (устаревшие) методы сбора энтропии вроде измерения реакции пользователя (движение мыши и т. п.), как, например, в , или взаимодействия между потоками , как, например, в Java secure random.

Примеры ГСЧ и источников энтропии

Несколько примеров ГСЧ с их источниками энтропии и генераторами:

ГПСЧ в криптографии

Разновидностью ГПСЧ являются ГПСБ (PRBG) - генераторы псевдо-случайных бит, а так же различных поточных шифров . ГПСЧ, как и поточные шифры, состоят из внутреннего состояния (обычно размером от 16 бит до нескольких мегабайт), функции инициализации внутреннего состояния ключом или семенем (англ. seed ), функции обновления внутреннего состояния и функции вывода. ГПСЧ подразделяются на простые арифметические, сломанные криптографические и криптостойкие . Их общее предназначение - генерация последовательностей чисел, которые невозможно отличить от случайных вычислительными методами.

Хотя многие криптостойкие ГПСЧ или поточные шифры предлагают гораздо более «случайные» числа, такие генераторы гораздо медленнее обычных арифметических и могут быть непригодны во всякого рода исследованиях, требующих, чтобы процессор был свободен для более полезных вычислений.

В военных целях и в полевых условиях применяются только засекреченные синхронные криптостойкие ГПСЧ (поточные шифры), блочные шифры не используются. Примерами известных криптостойких ГПСЧ являются ISAAC, SEAL , Snow, совсем медленный теоретический алгоритм Блюма, Блюма и Шуба , а так же счётчики с криптографическими хеш-функциями или криптостойкими блочными шифрами вместо функции вывода.

Аппаратные ГПСЧ

Кроме устаревших, хорошо известных LFSR-генераторов, широко применявшихся в качестве аппаратных ГПСЧ в XX веке, к сожалению, очень мало известно о современных аппаратных ГПСЧ (поточных шифрах), так как большинство из них разработано для военных целей и держатся в секрете. Почти все существующие коммерческие аппаратные ГПСЧ запатентованы и также держатся в секрете. Аппаратные ГПСЧ ограничены строгими требованиями к расходуемой памяти (чаще всего использование памяти запрещено), быстродействию (1-2 такта) и площади (несколько сотен FPGA - или

Из-за недостатка хороших аппаратных ГПСЧ производители вынуждены применять имеющиеся под рукой гораздо более медленные, но широко известные блочные шифры ( Компьютерное обозрение № 29 (2003)

Заметим, что в идеале кривая плотности распределения случайных чисел выглядела бы так, как показано на рис. 22.3 . То есть в идеальном случае в каждый интервал попадает одинаковое число точек: N i = N /k , где N — общее число точек, k — количество интервалов, i = 1, …, k .

Следует помнить, что генерация произвольного случайного числа состоит из двух этапов:

• генерация нормализованного случайного числа (то есть равномерно распределенного от 0 до 1);
• преобразование нормализованных случайных чисел r i в случайные числа x i , которые распределены по необходимому пользователю (произвольному) закону распределения или в необходимом интервале.

Генераторы случайных чисел по способу получения чисел делятся на:

• физические;
• табличные;
• алгоритмические.

Физические ГСЧ

Примером физических ГСЧ могут служить: монета («орел» — 1, «решка» — 0); игральные кости; поделенный на секторы с цифрами барабан со стрелкой; аппаратурный генератор шума (ГШ), в качестве которого используют шумящее тепловое устройство, например, транзистор (рис. 22.4–22.5 ).

Табличные ГСЧ

Табличные ГСЧ в качестве источника случайных чисел используют специальным образом составленные таблицы, содержащие проверенные некоррелированные, то есть никак не зависящие друг от друга, цифры. В табл. 22.1 приведен небольшой фрагмент такой таблицы. Обходя таблицу слева направо сверху вниз, можно получать равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа с нужным числом знаков после запятой (в нашем примере мы используем для каждого числа по три знака). Так как цифры в таблице не зависят друг от друга, то таблицу можно обходить разными способами, например, сверху вниз, или справа налево, или, скажем, можно выбирать цифры, находящиеся на четных позициях.

Достоинство данного метода в том, что он дает действительно случайные числа, так как таблица содержит проверенные некоррелированные цифры. Недостатки метода: для хранения большого количества цифр требуется много памяти; большие трудности порождения и проверки такого рода таблиц, повторы при использовании таблицы уже не гарантируют случайности числовой последовательности, а значит, и надежности результата.

Находится таблица, содержащая 500 абсолютно случайных проверенных чисел (взято из книги И. Г. Венецкого, В. И. Венецкой «Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе»).

Алгоритмические ГСЧ

Числа, генерируемые с помощью этих ГСЧ, всегда являются псевдослучайными (или квазислучайными), то есть каждое последующее сгенерированное число зависит от предыдущего:

r i + 1 = f (r i ) .

Последовательности, составленные из таких чисел, образуют петли, то есть обязательно существует цикл, повторяющийся бесконечное число раз. Повторяющиеся циклы называются периодами .

Достоинством данных ГСЧ является быстродействие; генераторы практически не требуют ресурсов памяти, компактны. Недостатки: числа нельзя в полной мере назвать случайными, поскольку между ними имеется зависимость, а также наличие периодов в последовательности квазислучайных чисел.

Рассмотрим несколько алгоритмических методов получения ГСЧ:

• метод серединных квадратов;
• метод серединных произведений;
• метод перемешивания;
• линейный конгруэнтный метод.

Метод серединных квадратов

Имеется некоторое четырехзначное число R 0 . Это число возводится в квадрат и заносится в R 1 . Далее из R 1 берется середина (четыре средних цифры) — новое случайное число — и записывается в R 0 . Затем процедура повторяется (см. рис. 22.6 ). Отметим, что на самом деле в качестве случайного числа необходимо брать не ghij , а 0.ghij — с приписанным слева нулем и десятичной точкой. Этот факт отражен как на рис. 22.6 , так и на последующих подобных рисунках.

Недостатки метода: 1) если на некоторой итерации число R 0 станет равным нулю, то генератор вырождается, поэтому важен правильный выбор начального значения R 0 ; 2) генератор будет повторять последовательность через M n шагов (в лучшем случае), где n — разрядность числа R 0 , M — основание системы счисления.

Для примера на рис. 22.6 : если число R 0 будет представлено в двоичной системе счисления, то последовательность псевдослучайных чисел повторится через 2 4 = 16 шагов. Заметим, что повторение последовательности может произойти и раньше, если начальное число будет выбрано неудачно.

Описанный выше способ был предложен Джоном фон Нейманом и относится к 1946 году. Поскольку этот способ оказался ненадежным, от него очень быстро отказались.

Метод серединных произведений

Число R 0 умножается на R 1 , из полученного результата R 2 извлекается середина R 2 * (это очередное случайное число) и умножается на R 1 . По этой схеме вычисляются все последующие случайные числа (см. рис. 22.7 ).

Метод перемешивания

В методе перемешивания используются операции циклического сдвига содержимого ячейки влево и вправо. Идея метода состоит в следующем. Пусть в ячейке хранится начальное число R 0 . Циклически сдвигая содержимое ячейки влево на 1/4 длины ячейки, получаем новое число R 0 * . Точно так же, циклически сдвигая содержимое ячейки R 0 вправо на 1/4 длины ячейки, получаем второе число R 0 ** . Сумма чисел R 0 * и R 0 ** дает новое случайное число R 1 . Далее R 1 заносится в R 0 , и вся последовательность операций повторяется (см. рис. 22.8 ).

Обратите внимание, что число, полученное в результате суммирования R 0 * и R 0 ** , может не уместиться полностью в ячейке R 1 . В этом случае от полученного числа должны быть отброшены лишние разряды. Поясним это для рис. 22.8 , где все ячейки представлены восемью двоичными разрядами. Пусть R 0 * = 10010001 2 = 145 10 , R 0 ** = 10100001 2 = 161 10 , тогда R 0 * + R 0 ** = 100110010 2 = 306 10 . Как видим, число 306 занимает 9 разрядов (в двоичной системе счисления), а ячейка R 1 (как и R 0 ) может вместить в себя максимум 8 разрядов. Поэтому перед занесением значения в R 1 необходимо убрать один «лишний», крайний левый бит из числа 306, в результате чего в R 1 пойдет уже не 306, а 00110010 2 = 50 10 . Также заметим, что в таких языках, как Паскаль, «урезание» лишних битов при переполнении ячейки производится автоматически в соответствии с заданным типом переменной.

Линейный конгруэнтный метод

Линейный конгруэнтный метод является одной из простейших и наиболее употребительных в настоящее время процедур, имитирующих случайные числа. В этом методе используется операция mod(x , y ) , возвращающая остаток от деления первого аргумента на второй. Каждое последующее случайное число рассчитывается на основе предыдущего случайного числа по следующей формуле:

r i + 1 = mod(k · r i + b , M ) .

Последовательность случайных чисел, полученных с помощью данной формулы, называется линейной конгруэнтной последовательностью . Многие авторы называют линейную конгруэнтную последовательность при b = 0 мультипликативным конгруэнтным методом , а при b ≠ 0 — смешанным конгруэнтным методом .

Для качественного генератора требуется подобрать подходящие коэффициенты. Необходимо, чтобы число M было довольно большим, так как период не может иметь больше M элементов. С другой стороны, деление, использующееся в этом методе, является довольно медленной операцией, поэтому для двоичной вычислительной машины логичным будет выбор M = 2 N , поскольку в этом случае нахождение остатка от деления сводится внутри ЭВМ к двоичной логической операции «AND». Также широко распространен выбор наибольшего простого числа M , меньшего, чем 2 N : в специальной литературе доказывается, что в этом случае младшие разряды получаемого случайного числа r i + 1 ведут себя так же случайно, как и старшие, что положительно сказывается на всей последовательности случайных чисел в целом. В качестве примера можно привести одно из чисел Мерсенна , равное 2 31 – 1 , и таким образом, M = 2 31 – 1 .

Одним из требований к линейным конгруэнтным последовательностям является как можно большая длина периода. Длина периода зависит от значений M , k и b . Теорема, которую мы приведем ниже, позволяет определить, возможно ли достижение периода максимальной длины для конкретных значений M , k и b .

Теорема . Линейная конгруэнтная последовательность, определенная числами M , k , b и r 0 , имеет период длиной M тогда и только тогда, когда:

• числа b и M взаимно простые;
• k – 1 кратно p для каждого простого p , являющегося делителем M ;
• k – 1 кратно 4, если M кратно 4.

Наконец, в заключение рассмотрим пару примеров использования линейного конгруэнтного метода для генерации случайных чисел.

Было установлено, что ряд псевдослучайных чисел, генерируемых на основе данных из примера 1, будет повторяться через каждые M /4 чисел. Число q задается произвольно перед началом вычислений, однако при этом следует иметь в виду, что ряд производит впечатление случайного при больших k (а значит, и q ). Результат можно несколько улучшить, если b нечетно и k = 1 + 4 · q — в этом случае ряд будет повторяться через каждые M чисел. После долгих поисков k исследователи остановились на значениях 69069 и 71365 .

Генератор случайных чисел, использующий данные из примера 2, будет выдавать случайные неповторяющиеся числа с периодом, равным 7 миллионам.

Мультипликативный метод генерации псевдослучайных чисел был предложен Д. Г. Лехмером (D. H. Lehmer) в 1949 году.

Проверка качества работы генератора

От качества работы ГСЧ зависит качество работы всей системы и точность результатов. Поэтому случайная последовательность, порождаемая ГСЧ, должна удовлетворять целому ряду критериев.

Осуществляемые проверки бывают двух типов:

• проверки на равномерность распределения;
• проверки на статистическую независимость.

Проверки на равномерность распределения

1) ГСЧ должен выдавать близкие к следующим значения статистических параметров, характерных для равномерного случайного закона:

2) Частотный тест

Частотный тест позволяет выяснить, сколько чисел попало в интервал (m r – σ r ; m r + σ r ) , то есть (0.5 – 0.2887; 0.5 + 0.2887) или, в конечном итоге, (0.2113; 0.7887) . Так как 0.7887 – 0.2113 = 0.5774 , заключаем, что в хорошем ГСЧ в этот интервал должно попадать около 57.7% из всех выпавших случайных чисел (см. рис. 22.9 ).

Также необходимо учитывать, что количество чисел, попавших в интервал (0; 0.5) , должно быть примерно равно количеству чисел, попавших в интервал (0.5; 1) .

3) Проверка по критерию «хи-квадрат»

Критерий «хи-квадрат» (χ 2 -критерий) — это один из самых известных статистических критериев; он является основным методом, используемым в сочетании с другими критериями. Критерий «хи-квадрат» был предложен в 1900 году Карлом Пирсоном. Его замечательная работа рассматривается как фундамент современной математической статистики.

Для нашего случая проверка по критерию «хи-квадрат» позволит узнать, насколько созданный нами реальный ГСЧ близок к эталону ГСЧ , то есть удовлетворяет ли он требованию равномерного распределения или нет.

Частотная диаграмма эталонного ГСЧ представлена на рис. 22.10 . Так как закон распределения эталонного ГСЧ равномерный, то (теоретическая) вероятность p i попадания чисел в i -ый интервал (всего этих интервалов k ) равна p i = 1/k . И, таким образом, в каждый из k интервалов попадет ровно по p i · N чисел (N — общее количество сгенерированных чисел).

Реальный ГСЧ будет выдавать числа, распределенные (причем, не обязательно равномерно!) по k интервалам и в каждый интервал попадет по n i чисел (в сумме n 1 + n 2 + … + n k = N ). Как же нам определить, насколько испытываемый ГСЧ хорош и близок к эталонному? Вполне логично рассмотреть квадраты разностей между полученным количеством чисел n i и «эталонным» p i · N . Сложим их, и в результате получим:

χ 2 эксп. = (n 1 – p 1 · N ) 2 + (n 2 – p 2 · N ) 2 + … + (n k – p k · N ) 2 .

Из этой формулы следует, что чем меньше разность в каждом из слагаемых (а значит, и чем меньше значение χ 2 эксп. ), тем сильнее закон распределения случайных чисел, генерируемых реальным ГСЧ, тяготеет к равномерному.

В предыдущем выражении каждому из слагаемых приписывается одинаковый вес (равный 1), что на самом деле может не соответствовать действительности; поэтому для статистики «хи-квадрат» необходимо провести нормировку каждого i -го слагаемого, поделив его на p i · N :

Наконец, запишем полученное выражение более компактно и упростим его:

Мы получили значение критерия «хи-квадрат» для экспериментальных данных.

В табл. 22.2 приведены теоретические значения «хи-квадрат» (χ 2 теор. ), где ν = N – 1 — это число степеней свободы, p — это доверительная вероятность, задаваемая пользователем, который указывает, насколько ГСЧ должен удовлетворять требованиям равномерного распределения, или p — это вероятность того, что экспериментальное значение χ 2 эксп. будет меньше табулированного (теоретического) χ 2 теор. или равно ему .

Приемлемым считают p от 10% до 90% .

Если χ 2 эксп. много больше χ 2 теор. (то есть p — велико), то генератор не удовлетворяет требованию равномерного распределения, так как наблюдаемые значения n i слишком далеко уходят от теоретических p i · N и не могут рассматриваться как случайные. Другими словами, устанавливается такой большой доверительный интервал, что ограничения на числа становятся очень нежесткими, требования к числам — слабыми. При этом будет наблюдаться очень большая абсолютная погрешность.

Еще Д. Кнут в своей книге «Искусство программирования» заметил, что иметь χ 2 эксп. маленьким тоже, в общем-то, нехорошо, хотя это и кажется, на первый взгляд, замечательно с точки зрения равномерности. Действительно, возьмите ряд чисел 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, … — они идеальны с точки зрения равномерности, и χ 2 эксп. будет практически нулевым, но вряд ли вы их признаете случайными.

Если χ 2 эксп. много меньше χ 2 теор. (то есть p — мало), то генератор не удовлетворяет требованию случайного равномерного распределения, так как наблюдаемые значения n i слишком близки к теоретическим p i · N и не могут рассматриваться как случайные.

А вот если χ 2 эксп. лежит в некотором диапазоне, между двумя значениями χ 2 теор. , которые соответствуют, например, p = 25% и p = 50%, то можно считать, что значения случайных чисел, порождаемые датчиком, вполне являются случайными.

При этом дополнительно надо иметь в виду, что все значения p i · N должны быть достаточно большими, например больше 5 (выяснено эмпирическим путем). Только тогда (при достаточно большой статистической выборке) условия проведения эксперимента можно считать удовлетворительными.

Итак, процедура проверки имеет следующий вид.

Проверки на статистическую независимость

1) Проверка на частоту появления цифры в последовательности

Рассмотрим пример. Случайное число 0.2463389991 состоит из цифр 2463389991, а число 0.5467766618 состоит из цифр 5467766618. Соединяя последовательности цифр, имеем: 24633899915467766618.

Понятно, что теоретическая вероятность p i выпадения i -ой цифры (от 0 до 9) равна 0.1.

2) Проверка появления серий из одинаковых цифр

Обозначим через n L число серий одинаковых подряд цифр длины L . Проверять надо все L от 1 до m , где m — это заданное пользователем число: максимально встречающееся число одинаковых цифр в серии.

В примере «24633899915467766618» обнаружены 2 серии длиной в 2 (33 и 77), то есть n 2 = 2 и 2 серии длиной в 3 (999 и 666), то есть n 3 = 2 .

Вероятность появления серии длиной в L равна: p L = 9 · 10 –L (теоретическая). То есть вероятность появления серии длиной в один символ равна: p 1 = 0.9 (теоретическая). Вероятность появления серии длиной в два символа равна: p 2 = 0.09 (теоретическая). Вероятность появления серии длиной в три символа равна: p 3 = 0.009 (теоретическая).

Например, вероятность появления серии длиной в один символ равна p L = 0.9 , так как всего может встретиться один символ из 10, а всего символов 9 (ноль не считается). А вероятность того, что подряд встретится два одинаковых символа «XX» равна 0.1 · 0.1 · 9, то есть вероятность 0.1 того, что в первой позиции появится символ «X», умножается на вероятность 0.1 того, что во второй позиции появится такой же символ «X» и умножается на количество таких комбинаций 9.

Частость появления серий подсчитывается по ранее разобранной нами формуле «хи-квадрат» с использованием значений p L .

Примечание: генератор может быть проверен многократно, однако проверки не обладают свойством полноты и не гарантируют, что генератор выдает случайные числа. Например, генератор, выдающий последовательность 12345678912345…, при проверках будет считаться идеальным, что, очевидно, не совсем так.

В заключение отметим, что третья глава книги Дональда Э. Кнута «Искусство программирования» (том 2) полностью посвящена изучению случайных чисел. В ней изучаются различные методы генерирования случайных чисел, статистические критерии случайности, а также преобразование равномерно распределенных случайных чисел в другие типы случайных величин. Изложению этого материала уделено более двухсот страниц.

Детерминированные ГПСЧ

Никакой детерминированный алгоритм не может генерировать полностью случайные числа, он может только аппроксимировать некоторые свойства случайных чисел. Как сказал Джон фон Нейман , «всякий, кто питает слабость к арифметическим методам получения случайных чисел, грешен вне всяких сомнений ».

Любой ГПСЧ с ограниченными ресурсами рано или поздно зацикливается - начинает повторять одну и ту же последовательность чисел. Длина циклов ГПСЧ зависит от самого генератора и в среднем составляет около 2 n/2 , где n - размер внутреннего состояния в битах, хотя линейные конгруэнтные и LFSR -генераторы обладают максимальными циклами порядка 2 n . Если ГПСЧ может сходиться к слишком коротким циклам, такой ГПСЧ становится предсказуемым и является непригодным.

Большинство простых арифметических генераторов хотя и обладают большой скоростью, но страдают от многих серьёзных недостатков:

• Слишком короткий период/периоды.
• Последовательные значения не являются независимыми.
• Некоторые биты «менее случайны», чем другие.
• Неравномерное одномерное распределение.
• Обратимость.

В частности, алгоритм мейнфреймах, оказался очень плохим , что вызвало сомнения в достоверности результатов многих исследований, использовавших этот алгоритм.

ГПСЧ с источником энтропии или ГСЧ

Наравне с существующей необходимостью генерировать легко воспроизводимые последовательности случайных чисел, также существует необходимость генерировать совершенно непредсказуемые или попросту абсолютно случайные числа. Такие генераторы называются генераторами случайных чисел (ГСЧ - англ. random number generator, RNG ). Так как такие генераторы чаще всего применяются для генерации уникальных симметричных и асимметричных ключей для шифрования, они чаще всего строятся из комбинации криптостойкого ГПСЧ и внешнего источника энтропии (и именно такую комбинацию теперь и принято понимать под ГСЧ).

Почти все крупные производители микрочипов поставляют аппаратные ГСЧ с различными источниками энтропии, используя различные методы для их очистки от неизбежной предсказуемости. Однако на данный момент скорость сбора случайных чисел всеми существующими микрочипами (несколько тысяч бит в секунду) не соответствует быстродействию современных процессоров.

В персональных компьютерах авторы программных ГСЧ используют гораздо более быстрые источники энтропии, такие, как шум звуковой карты или счётчик тактов процессора . До появления возможности считывать значения счётчика тактов, сбор энтропии являлся наиболее уязвимым местом ГСЧ. Эта проблема до сих пор полностью не разрешена во многих устройствах (например, смарт-картах), которые таким образом остаются уязвимыми. Многие ГСЧ до сих пор используют традиционные (устаревшие) методы сбора энтропии вроде измерения реакции пользователя (движение мыши и т. п.), как, например, в , или взаимодействия между потоками , как, например, в Java secure random.

Примеры ГСЧ и источников энтропии

Несколько примеров ГСЧ с их источниками энтропии и генераторами:

ГПСЧ в криптографии

Разновидностью ГПСЧ являются ГПСБ (PRBG) - генераторы псевдо-случайных бит, а так же различных поточных шифров . ГПСЧ, как и поточные шифры, состоят из внутреннего состояния (обычно размером от 16 бит до нескольких мегабайт), функции инициализации внутреннего состояния ключом или семенем (англ. seed ), функции обновления внутреннего состояния и функции вывода. ГПСЧ подразделяются на простые арифметические, сломанные криптографические и криптостойкие . Их общее предназначение - генерация последовательностей чисел, которые невозможно отличить от случайных вычислительными методами.

Хотя многие криптостойкие ГПСЧ или поточные шифры предлагают гораздо более «случайные» числа, такие генераторы гораздо медленнее обычных арифметических и могут быть непригодны во всякого рода исследованиях, требующих, чтобы процессор был свободен для более полезных вычислений.

В военных целях и в полевых условиях применяются только засекреченные синхронные криптостойкие ГПСЧ (поточные шифры), блочные шифры не используются. Примерами известных криптостойких ГПСЧ являются ISAAC, SEAL , Snow, совсем медленный теоретический алгоритм Блюма, Блюма и Шуба , а так же счётчики с криптографическими хеш-функциями или криптостойкими блочными шифрами вместо функции вывода.

Аппаратные ГПСЧ

Кроме устаревших, хорошо известных LFSR-генераторов, широко применявшихся в качестве аппаратных ГПСЧ в XX веке, к сожалению, очень мало известно о современных аппаратных ГПСЧ (поточных шифрах), так как большинство из них разработано для военных целей и держатся в секрете. Почти все существующие коммерческие аппаратные ГПСЧ запатентованы и также держатся в секрете. Аппаратные ГПСЧ ограничены строгими требованиями к расходуемой памяти (чаще всего использование памяти запрещено), быстродействию (1-2 такта) и площади (несколько сотен FPGA - или

Из-за недостатка хороших аппаратных ГПСЧ производители вынуждены применять имеющиеся под рукой гораздо более медленные, но широко известные блочные шифры ( Компьютерное обозрение № 29 (2003)

19.09.2017, Вт, 13:18, Мск , Текст: Валерия Шмырова

Компания «Код безопасности», разработчик криптографического комплекса «Континент», получила патент на биологический датчик случайных чисел. Это именно биологический датчик, так как в основе случайности лежит реакция пользователя на показанное ему изображение. Компания уверяет, что до нее такие технологии в мире не патентовались.

Получение патента

Компания «Код безопасности» получила патент на технологию биологического датчика случайных чисел. По словам разработчиков, при создании технологии был использован «новый подход к решению задачи генерации случайных чисел с использованием компьютера и человека». Разработка уже используется в ряде продуктов, в том числе в «Континент-АП», Secret Net Studio, «Континент TLS» и Jinn, а также в криптографической библиотеке SCrypt.

Как пояснили CNews представители компании, работа над датчиком ведется уже третий год. Она состоит из научной части, реализации и экспериментальной части. За научную часть в компании отвечают три человека, в разработке принимала участие вся команда программистов, а тестирование и эксперименты проводились всем коллективом, что составляет нескольких сотен человек.

Возможности технологии

Новый датчик может генерировать случайные последовательности на персональных устройствах - для этого не нужно дополнительных приборов или аппаратных надстроек. Он может применяться при шифровании данных и в любых сферах, где возникает необходимость в случайных двоичных последовательностях. По словам разработчиков, с его помощью гораздо быстрее создаются ключи шифрования на мобильных устройствах. Это свойство может быть использовано для шифрования данных или формирования электронной подписи.

Как пояснила Алиса Коренева , системный аналитик «Кода безопасности», созданный компанией датчик генерирует случайные последовательности основываясь на скорости и точности реагирования руки пользователя на изменение изображения на экране ПК или планшета. Для ввода используются мышь или тачскрин. Выглядит это так: по экрану хаотично движутся круги, некоторые их параметры меняются с течением времени. В некоторые моменты времени пользователь реагирует на изменения изображения. С учетом особенностей его моторики это отражается в случайной массе битов.

Генерировать случайные числовые последовательности можно опираясь на спонтанные реакции человека

Вне криптографии датчик может быть использован для генерации случайных чисел в компьютерных играх или для выбора победителей конкурсов.

Научная новизна

Как пояснили CNews в компании, в основе многих известных способов построения датчиков случайных чисел лежат либо физические законы и явления, либо детерминированные алгоритмы. Последовательности можно генерировать с помощью компьютера - в этом случае за основу случайности взята нестабильность работы некоторых частей компьютера и неопределенность аппаратных помех.

Новизна технологии «Кода безопасности» заключается в том, что источником случайности является реакция человека на меняющееся изображение, который выводится на дисплей устройства. Именно поэтому в названии изобретения присутствует слово «биологический». Компания сообщает, что ни она, ни Роспатент не нашли в России и в мире запатентованных аналогов технологии. Однако в целом такие методики известны: например, последовательность можно генерировать, опираясь на такие действия пользователя, как клики или движения мышью или нажатие клавиш на клавиатуре.

По словам Кореневой, команда разработки проанализировала разные способы генерации случайных последовательностей. Как выяснилось, во многих случаях отсутствуют обоснованные оценки производительности генерации, или же статистических свойств сгенерированных последовательностей, или и того и другого. Это связано с трудностью обоснования уже придуманной технологии. «Код безопасности» утверждает, что в своем исследовании получил обоснованные оценки скорости генерации, смог обосновать хорошие вероятностные характеристики и статистические свойства и оценил энтропию, вносимую действиями человека.

Продукты, где используется технология

«Континент» - это аппаратно программный комплекс, предназначенный для шифрования данных. Используется в российском госсекторе, например, в Казначействе. Состоит из межсетевого экрана и инструментария для создания VPN. Был создан компанией НИП «Информзащита», сейчас его разработкой занимается ООО «Код Безопасности».

Конкретно сервер доступа «Континент» и система криптозащиты информации «Континент-АП» представляют собой модуль защищенного удаленного доступа с использованием алгоритмов ГОСТ, а «Континент TLS VPN» - это система обеспечения защищенного удаленного доступа к веб-приложениям также с использованием алгоритмов шифрования ГОСТ.

Secret Net Studio - это комплексное решение для защиты рабочих станций и серверов на уровне данных, приложений, сети, операционной системы и периферийного оборудования, которое также разрабатывает «Код безопасности». Jinn-Client предназначен для криптографической защиты информации для создания электронной подписи и доверенной визуализации документов, а Jinn-Server - это программно-аппаратный комплекс для построения систем юридически значимого электронного документооборота.

Криптографическая библиотека SCrypt, в которой также используется новый датчик, была разработана «Кодом безопасности» для более удобного применения криптографических алгоритмов в различных продуктах. Это единый программный код, прошедший проверку на ошибки. Библиотека поддерживает криптографические алгоритмы хэширования, электронной подписи, шифрования.

Чем занимается «Код безопасности»

«Код безопасности» – российский компания, которая занимается разработкой ПО и аппаратуры. Была основана в 2008 г. Сфера применения продукции - защита информационных систем и приведение их в согласие с международными и отраслевыми стандартами, в том числе защита конфиденциальной информации, вплоть до гостайны. «Код безопасности» имеет девять лицензий Федеральной службы по техническому и экспортному контролю (ФСТЭК) России, Федеральной службы безопасности (ФСБ) России и Министерства обороны.

Штат компании насчитывает порядка 300 специалистов, реализацией продукции занимаются 900 авторизованных партнеров во всех регионах России и в странах СНГ. Клиентская база «Кода безопасности» насчитывает около 32 тыс. государственных и коммерческих организаций.