Пара различных лучей Оа и Оb, выходящих из одной точки О, называется углом и обозначается символом (а, b). Точка О называется вершиной угла, а лучи Оа u Оb -- сторонами угла. Если А и В -- две точки лучей Оа и Оb, то (а, b) обозначается также символом АОВ (рис. 1.1).

Угол (а, Ь) называют развернутым, если лучи Оа и Ob, выходящие из одной точки, лежат на одной прямой и не совпадают (т. е. противоположно направлены).

Рис.1.1

Два угла считаются равными, если один угол можно наложить на другой так, чтобы стороны углов совпадали. Биссектрисой угла называется луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Говорят, что луч ОС, исходящий из вершины угла АОВ, лежит между его сторонами, если он пересекает отрезок АВ (рис. 1.2). Говорят, что точка С лежит между сторонами угла, если через эту точку можно провести луч с началом в вершине угла, лежащий между сторонами угла. Множество всех точек плоскости, лежащих между сторонами угла, образует внутреннюю область угла (рис. 1.3). Множество точек плоскости, не принадлежащих внутренней области и сторонам угла, образует внешнюю область угла.

Угол (а, b) считают больше угла (c, d), если угол (с, d) можно наложить на угол (а, b) так, что после совмещения одной пары сторон вторая сторона угла (с, d) будет лежать между сторонами угла (а, b). На рис. 1.4 АОВ больше АОС.

Пусть луч с лежит между сторонами угла (а, b) (рис. 1.5). Пары лучей а, с и с, b образуют два угла. Об угле (а, b) говорят, что он является суммой двух углов (а, с) и (с, b), и пишут: (а, b) = (а, с) + (с, b).

Рис.1.3

Обычно в геометрии имеют дело с углами, меньшими развернутого. Однако в результате сложения двух углов может получиться угол, больший развернутого. В этом случае ту часть плоскости, которая считается внутренней областью угла, отмечают дугой. На рис. 1.6 внутренняя часть угла АОВ, полученного в результате сложения углов АОС и СОВ и большего развернутого, отмечена дугой.

Рис.1.5

Существуют также углы большие 360°. Такие углы образуются, например, вращением пропеллера самолета, вращением барабана, на который наматывается канат, и т. д.

В дальнейшем при рассмотрении каждого угла условимся считать одну из сторон этого угла его начальной стороной, а другую -- конечной стороной.

Любой угол, например угол АОВ (рис. 1.7), можно получить в результате вращения подвижного луча вокруг вершины О от начальной стороны угла (ОА) до его конечной стороны (ОВ). Мы будем измерять этот угол, учитывая полное количество оборотов, сделанных при этом вокруг точки О, а также и направление, в котором происходило вращение.

Положительные и отрицательные углы.

Пусть мы имеем угол, образованный лучами ОА и ОВ (рис.1.8). Подвижный луч, вращаясь вокруг точки О от своего начального положения (ОА), может занять конечное положение (ОВ) при двух различных направлениях вращения. Эти направления показаны на рисунке 1.8 соответствующими стрелками.

Рис.1.7

Подобно тому, как на числовой оси одно из двух направлений считается положительным, а другое отрицательным, различают и два различных направления вращения подвижного луча. Условились считать положительным направлением вращения то направление, которое противоположно направлению вращения часовой стрелки. Направление вращения, совпадающее с направлением вращения часовой стрелки, считается отрицательным.

В соответствии с этими определениями углы также подразделяются на положительные и отрицательные.

Положительным углом называется угол, образованный вращением подвижного луча вокруг начальной точки в положительном направлении.

На рисунке 1.9 даны некоторые положительные углы. (Направление вращения подвижного луча показано на чертежах стрелками.)

Отрицательным углом называется угол, образованный вращением подвижного луча вокруг начальной точки в отрицательном направлении.

На рисунке 1.10 изображены некоторые отрицательные углы. (Направление вращения подвижного луча показано на чертежах стрелками.)

Но два совпадающих луча могут также образовать и углы +360°п и -360°п (п = 0,1,2,3,...). Обозначим через б наименьший возможный неотрицательный угол поворота, переводящий луч ОА в положение ОВ. Если теперь луч ОВ совершит дополнительно полный оборот вокруг точки О, то получим другую величину угла, а именно: АВО = б + 360°.

Измерение углов дугами окружности. Единицы измерения дуг и углов

В ряде случаев оказывается удобным измерять углы при помощи дуг окружности. Возможность такого измерения основа на известном предложении планиметрии о том, что в одном круге (или в равных кругах) центральные углы и соответствующие им дуги находятся в прямой пропорциональной зависимости.

Пусть некоторая дуга данной окружности принята за единицу измерения дуг. Соответствующий этой дуге центральный угол примем за единицу измерения углов. При таком условии любая дуга окружности и соответствующий этой дуге центральный угол будут содержать одно и то же число единиц измерения. Поэтому, измеряя дуги окружности, можно определять и величину соответствующих этим дугам центральных углов.

Рассмотрим две наиболее распространенные системы измерения дуг и углов.

Градусная мера измерения углов

При градусном измерении углов в качестве основной единицы измерения углов (эталонного угла, с которым сравниваются различные углы) берется угол в один градус (обозначается 1?). Угол в один градус -- это угол, равный 1/180 части развернутого угла. Угол, равный 1/60 части угла в 1°, -- это угол в одну минуту (обозначается 1"). Угол, равный 1/60 части угла в одну минуту,-- это угол в одну секунду (обозначается 1").

Радианная мера измерения углов

Наряду с градусной мерой измерения углов в геометрии и тригонометрии употребляется и другая мера измерения углов, называемая радианной. Рассмотрим окружность радиуса R с центром О. Проведем два радиуса О А и ОВ так, чтобы длина дуги АВ была равна радиусу окружности (рис. 1.12). Получившийся при этом центральный угол АОВ будет углом в один радиан. Угол в 1 радиан принимается за единицу измерения радианной меры измерения углов. При радианном измерении углов развернутый угол равен р радиан.

Градусная и радианная единицы измерения углов связаны равенствами:

1 радиан =180?/р57° 17" 45"; 1?=р/180 радиана0,017453радиана;

1"=р/180*60 радиана0,000291 радиана;

1""=р/180*60*60 радиана0,000005 радиана.

Градусную (или радианную) меру угла также называют величиной угла. Величину угла АОВ иногда обозначают /

Классификация углов

Угол, равный 90°, или в радианной мере р/2, называется прямым углом; его часто обозначают буквой d. Угол, меньший 90°, называется острым; угол, больший 90°, но меньший 180°, называется тупым.

Два угла, имеющие одну общую сторону и в сумме составляющие 180°, называются смежными углами. Два угла, имеющие одну общую сторону и в сумме составляющие 90°, называются дополнительными углами.

В тригонометрии важным понятием является угол поворота . Ниже мы последовательно будем давать представление о повороте, и вводить все сопутствующие понятия. Начнем с общего представления о повороте, скажем о полном обороте. Далее перейдем к понятию угла поворота и рассмотрим его основные характеристики, такие как направление и величина поворота. Наконец, дадим определение поворота фигуры вокруг точки. Всю теорию по тексту будем снабжать поясняющими примерами и графическими иллюстрациями.

Навигация по странице.

Что называют поворотом точки вокруг точки?

Сразу отметим, что наряду с фразой «поворот вокруг точки» будем также использовать словосочетания «поворот около точки» и «поворот относительно точки», что обозначает одно и то же.

Введем понятие поворота точки вокруг точки .

Сначала дадим определение центра поворота.

Определение.

Точку, относительно которой осуществляется поворот, называют центром поворота .

Теперь скажем, что получается в результате поворота точки.

В результате поворота некоторой точки A относительно центра поворота O получается точка A 1 (которая в случае некоторого количества может совпадать с A ), причем точка A 1 лежит на окружности с центром в точке O радиуса OA . Иными словами, при повороте относительно точки O точка A переходит в точку A 1 , лежащую на окружности с центром в точке O радиуса OA .

Считают, что точка O при повороте вокруг самой себя переходит в саму себя. То есть, в результате поворота вокруг центра поворота O точка O переходит в саму себя.

Также стоит отметить, что поворот точки А вокруг точки O стоит рассматривать как перемещение в результате движения точки А по окружности с центром в точке O радиуса OA .

Для наглядности приведем иллюстрации поворота точки А вокруг точки O , на рисунках, расположенных ниже, перемещение точки А в точку А 1 покажем при помощи стрелки.

Полный оборот

Можно выполнить такой поворот точки A относительно центра поворота O , что точка А , пройдя все точки окружности, окажется на прежнем месте. При этом говорят, что точка А совершила вокруг точки O .

Дадим графическую иллюстрацию полного оборота.

Если же не останавливаться на одном обороте, а продолжать движение точки по окружности, то можно выполнить два, три и так далее полных оборотов. На чертеже ниже справа показано, как могут быть произведены два полных оборота, а слева - три оборота.

Понятие угла поворота

Из введенного в первом пункте понятия поворота точки понятно, что существует бесконечное множество вариантов поворота точки А вокруг точки O . Действительно, любую точку окружности с центром в точке O радиуса OA можно рассматривать как точку A 1 , полученную в результате поворота точки А . Поэтому, чтобы отличать один поворот от другого, вводится понятие угла поворота .

Одной из характеристик угла поворота является направление поворота . По направлению поворота судят о том, как осуществляется поворот точки – по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Другой характеристикой угла поворота является его величина . Углы поворота измеряются в тех же единицах, что и : наиболее распространены градусы и радианы. Здесь стоит заметить, что угол поворота может выражаться в градусах любым действительным числом из промежутка от минус бесконечности до плюс бесконечности, в отличие от угла в геометрии, величина которого в градусах положительна и не превосходит 180 .

Для обозначения углов поворота обычно используются строчные буквы греческого алфавита: и т.д. Для обозначения большого количества углов поворота часто применяют одну букву с нижними индексами, к примеру, .

Теперь поговорим о характеристиках угла поворота подробнее и по порядку.

Направление поворота

Пусть на окружности с центром в точке O отмечены точки A и A 1 . В точку А 1 можно попасть из точки A , выполнив поворот вокруг центра O либо по часовой стрелке, либо - против часовой стрелки. Эти повороты логично считать различными.

Проиллюстрируем повороты в положительном и отрицательном направлении. На чертеже ниже слева показан поворот в положительном направлении, а справа – в отрицательном.

Величина угла поворота, угол произвольной величины

Угол поворота точки, отличной от центра поворота, полностью определяется указанием его величины, с другой стороны, по величине угла поворота можно судить о том, как этот поворот был осуществлен.

Как мы уже упоминали выше, величина угла поворота в градусах выражается числом от −∞ до +∞ . При этом знак плюс соответствует повороту по часовой стрелке, а знак минус – повороту против часовой стрелки.

Теперь осталось установить соответствие между величиной угла поворота и тем, какому повороту она соответствует.

Начнем с угла поворота, равного нулю градусам. Этому углу поворота отвечает перемещение точки А в себя. Другими словами, при повороте на 0 градусов вокруг точки O точка А остается на месте.

Переходим к повороту точки А вокруг точки O , при котором поворот происходит в пределах половины оборота. Будем считать, что точка А переходит в точку А 1 . В этом случае абсолютная величина угла AOA 1 в градусах не превосходит 180 . Если поворот происходил в положительном направлении, то величина угла поворота считается равной величине угла AOA 1 , а если поворот происходил в отрицательном направлении, то его величина считается равной величине угла АОА 1 со знаком минус. Для примера приведем рисунок, показывающий углы поворота в 30 , 180 и −150 градусов.

Углы поворота большие 180 градусов и меньшие −180 градусов определяются на основе следующего достаточно очевидного свойства последовательных поворотов : несколько последовательных поворотов точки A вокруг центра O равносильны одному повороту, величина которого равна сумме величин этих поворотов.

Приведем пример, иллюстрирующий данное свойство. Выполним поворот точки А относительно точки O на 45 градусов, а затем еще повернем эту точку на 60 градусов, после чего повернем эту точку на −35 градусов. Обозначим промежуточные точки при этих поворотах как A 1 , A 2 и A 3 . В эту же точку А 3 мы могли попасть, выполнив один поворот точки A на угол 45+60+(−35)=70 градусов.

Итак, углы поворота, большие 180 градусов, мы будем представлять как несколько последовательных поворотов на углы, сумма величин которых дает величину исходного угла поворота. Например, угол поворота 279 градусов соответствует последовательным поворотам на 180 и 99 градусов, или на 90 , 90 , 90 и 9 градусов, или на 180 , 180 и −81 градус, или на 279 последовательных поворотов по 1 градусу.

Аналогично определяются и углы поворота, меньшие −180 градусов. К примеру, угол поворота −520 градусов можно интерпретировать как последовательные повороты точки на −180 , −180 и −160 градусов.

Подведем итог . Мы определили угол поворота, величина которого в градусах выражается некоторым действительным числом из промежутка от −∞ до +∞ . В тригонометрии мы будем работать именно с углами поворота, хотя слово «поворот» часто опускают, и говорят просто «угол». Таким образом, в тригонометрии мы будем работать с углами произвольной величины, под которыми будем понимать углы поворота.

В заключение этого пункта отметим, что полный оборот в положительном направлении соответствует углу поворота в 360 градусов (или 2·π радианов), а в отрицательном – углу поворота в −360 градусов (или −2·π рад). При этом удобно большие углы поворота представлять как некоторое количество полных оборотов и еще один поворот на угол величиной от −180 до 180 градусов. Для примера возьмем угол поворота 1 340 градусов. Несложно 1 340 представить как 360·4+(−100) . То есть, исходному углу поворота отвечают 4 полных оборота в положительном направлении и последующий поворот на −100 градусов. Другой пример: угол поворота −745 градусов можно интерпретировать как два оборота против часовой стрелки и последующий поворот на −25 градусов, так как −745=(−360)·2+(−25) .

Поворот фигуры вокруг точки на угол

Понятие поворота точки легко расширяется на поворот любой фигуры вокруг точки на угол (речь идет о таком повороте, что и точка, относительно которой осуществляется поворот, и фигура, которую поворачивают, лежат в одной плоскости).

Под поворотом фигуры будем понимать поворот всех точек фигуры вокруг заданной точки на данный угол.

В качестве примера приведем иллюстрацию следующему действию: выполним поворот отрезка AB на угол относительно точки O , это отрезок при повороте перейдет в отрезок A 1 B 1 .

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Основные величины тригонометрии

Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

Тригонометрический круг

Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

1. Y = tg x.
2. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
3. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
4. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
5. Tg x = 0, при x = πk.
6. Функция является возрастающей.
7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

1. Y = ctg x.
2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
7. Функция является убывающей.
8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить